Характеристики варіації

В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки щільно групуються навколо центра розподілу, в інших — значно відхиляються. Чим менші відхилення, тим однорідніша сукупність, а отже, тим більш надійні й типові характеристики центра розподілу, передусім середня величина. Вимірювання ступеня коливання ознаки, її варіації — невід’ємна складова аналізу закономірностей розподілу.

Для вимірювання та оцінювання варіації використовуються абсолютні та відносні характеристики. До абсолютних належать: розмах варіації, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, дисперсії; відносні характеристики подаються низкою коефіцієнтів.

Розмах варіації - це різниця між найбільшим та якнайменшим значеннями ознаки R = х_max- x_min.

В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу й нижньою межею першого або як різницю між середніми значеннями цих інтервалів.

Перевагою варіаційного розмаху є простота його обчислення й тлумачення. Проте, коли частоти крайніх варіант надто малі, варіаційний розмах неадекватно характеризує варіацію. У таких випадках використовують квартильні або децильні розмахи. Квартильний розмах охоплює 50% обсягу сукупності

R_Q= Q₃ - Q₁.

Інші абсолютні характеристики варіації базуються на відхиленнях індивідуальних значень ознаки від середньої величини. Оскільки то при розрахунку такого роду показників використовують або модулі, або квадрати відхилень. В результаті маємо наступні характеристики варіації: середнє лінійне l та середнє квадратичне s відхилення та дисперсію s² (див. таблицю 5.4)

Таблиця 5.4 - Розрахунок узагальнюючих характеристик варіації

Показник	Середнє відхилення
лінійне	квадратичне
За даними: - незгрупованими
- згрупованими

Очевдно, що дисперсія – це середній квадрат відхилень. Середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення є безпосередніми мірами варіації. Це іменовані числа (в одиницях вимірювання ознаки), за змістом вони ідентичні, проте завдяки математичним властивостям . Коли обсяг сукупності досить великий і розподіл ознаки, що варіює, наближається до нормального, то , а . Значення ознаки в межах мають 68,3% обсягу сукупності, у межах — 95,4%, у межах — 99,7%. Це відоме «правило трьох сигм».

Розглянуті абсолютні характеристики варіації мають одиниці вимірювання ознаки. При порівнянні варіації різних ознак або варіації однієї ознаки в різних сукупностях використовують відносні характеристики - коефіцієнти варіації.

Коефіцієнти варіації розраховують за формулами:

- лінійний

; (5.3)

- квадратичний

; (5.4)

- осциляції

; (5.5)

- квартильный

(5.6)

Для оцінки однорідності сукупності та порівняння варіацій найбільш часто використовують квадратичний коефіцієнт варіації. В економічних розрахунках вважають, що сукупність є однорідною, а середня - типовою, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 10-15% (в математиці ця величина складає 33%). Якщо при розрахунках використовується тільки один вид коефіцієнта варіації, зустрічається його позначення як К_V.

4. Характеристики форми розподілу

Аналіз закономірностей розподілу передбачає оцінювання ступеня однорідності сукупності, асиметрії та ексцесу розподілу.

Однорідність сукупності — передумова використання інших статистичних методів (середніх величин, регресійного аналізу тощо).

В однорідних сукупностях розподіли одновершинні (одномодальні). Багатовершинність свідчить про неоднорідний склад сукупності, про різнотиповість окремих складових. Критерієм однорідності сукупності вважається квадратичний коефіцієнт варіації,

З-поміж одновершинних розподілів є симетричні та асиметричні (скошені), гостро- та плосковершинні. У симетричному розподілі рівновіддалені від центра значення ознаки мають однакові частоти, в асиметричному — вершина розподілу зміщена. Напрям асиметрії протилежен напряму зсуву вершини. Якщо вершина зміщена вліво, то це правостороння асиметрія та навпаки.

В симетричному розподілі характеристики центру мають однакові значення х=Ме=Мо; при правосторонній асиметрії , при лівобічній .

Чим більша асиметрія, тим більше відхилення (). Очевидно, найпростішою мірою асиметрії є відносне відхилення , яке характеризує напрям і міру скошеності в середині розподілу; при правосторонній асиметрії , при лівосторонній — .

Іншою властивістю одновершинних розподілів є ступінь зосередженості елементів сукупності навколо центра розподілу. Цю властивість називають ексцесом розподілу.

Асиметрія та ексцес — дві пов’язані з варіацією властивості форми розподілу. Комплексне їх оцінювання виконується на базі моментів розподілу.

Момент розподілу - це середня арифметична k-го ступеню відхилення (х-а). В загальному вигляді момент розподілу розраховується за формулою:

(5.7 а)

або

(5.7 б)

де m_k - момент k -го порядку,

х- варіанти ряду,

f - частоти ряду,

n- обсяг вибірки,

k та а- постійні числа.

Залежно від величини а моменти розділяють на початкові а=0, центральні а=хта умовні а=х₀, де х₀ - деяка варіанта ряду, звичайно близька до його середини. Ступінь k визначає порядок моменту.

Початковий момент k -го порядку виражається формулою:

(5.8)

Центральний момент k -го порядку виражається формулою:

(5.9)

Умовний момент k -го порядку виражається формулою:

(5.10)

Очевидно, що початковий момент 1-го порядку є середня арифметична, 2-го - середній квадрат значень ознаки. Центральний момент 2-го порядку характеризує дисперсію.

Центральни моменти 3-го і 4-го порядків характеризують відповідно асиметрію та ексцес. У симетричному розподілі m₃=0. Чим більша скошеність ряду, тим більше значення величини. Для того щоб характеристика скошеності не залежала від масштабу вимірювання ознаки, для порівняння ступеня асиметрії різних розподілів використовується стандартизований момент Аs=m₃/s³, званий також коефіцієнтом асиметрії, який на відміну від коефіцієнта скошеності залежить від крайніх значень ознаки. При правосторонній асиметрії коефіцієнт Аs>0, при лівобічній Аs<0. Тому правосторонню асиметрію називають позитивною (додатною), а лівобічну – негативною (від'ємною). Вважається, що при Аs<0,25 асиметрія низька, якщо Аs не перевищує 0,5 - середня та при Аs>0,5 - висока.

Для вимірювання ексцесу використовують стандартизований момент 4-го порядку Е=m₄/s ⁴. При симетричному, близькому до нормального розподілі Е=3, при гостровершинному розподілі Е>3, при плосковершинному Е<3.

Розрахунок центральних моментів m₃ і m₄ за даними інтервального ряду розподілу доцільно проводити за формулами:

(5.11)

де h- ширина інтервалу або будь-яке число,

f- частота або частість інтервалу.

Аналіз закономірностей розподілу можна поглибити, якщо описати його певною функцією.