Криві розподілу. Перевірка статистичних гіпотез про відповідність емпіричного та теоретичного розподілів.

Аналіз закономірностей розподілу можна поглибити, якщо описати його певною функцією, яка називається теоретичною кривою. Теоретична крива описує закономірність співвідношення варіант та частот Найпоширенішою є нормальна крива. Вона використовується як стандарт, з яким порівнюють інші розподіли. Деякі розподіли, які не є нормальними, приводять до такого вигляду перетворенням змінної величини х (наприклад, заміною значень х їх логарифмами lgх).

Нормальний закон розподілу має місце у разі, коли діє велике число дрібних незалежних або слабо залежних випадкових величин (причин), які грають в загальній сумі приблизно однакову роль та серед них не можна виділити головних.

Найважливішою задачею наукового дослідження є встановлення зв'язків між двома величинами або економічними явищами. В економічних явищах часто доводиться розглядати зв'язки як між випадковими, так і зв'язки між випадковими й невипадковими величинами (оскільки не всі чинники, що впливають на економічні процеси – випадкові величини). Вивчення таких зв'язків здійснюється за допомогою кореляційно-регресійного аналізу. Зокрема, даний розділ статистики розглядає стохастичні зв'язки між величинами, коли одна з них у, будучи випадковою величиною, реагує на зміну іншої величини х (як випадкової, так і невипадкової) зміною свого закону розподілу.

Кореляційний аналіз (вивчаючий зв'язки між випадковими величинами) пред'являє жорсткі вимоги до початкової інформації. Зокрема він припускає, що розподіл випадкової величини повинен підпорядковувати нормальному закону.

Регресійний аналіз (вивчаючий зв'язки між випадковими і невипадковими величинами) пред'являє менш жорсткі вимоги. Його проведення можливо навіть у разі деякої відмінності розподілу випадкової величини від нормальної, що особливо важливо в економічних дослідженнях, де розподіл показників часто ассиметрично.

Проте, у будь-якому випадку, як правило, вимагається оцінити ступінь близькості закону розподілу випадкової величини до нормального.

 

Якщо безперервна випадкова величина підкоряється закону нормального розподілу, то вона має наступну щільність розподілу

)

 

У цьому випадку для неї справедлива функція

(5.17)

 

Ця функція називається нормованою функцією Лапласа, значення якої табульовані. Вона характеризує площу під кривою в проміжку від 0 до t.

Щоб оцінити вірогідність попадання в інтервал від -¥ до х розраховують F_(x).

(5.18)

 

де F_(X) – функція нормального розподілу.

 

Очевидно, що F_(Х)= 1/2 + Ф(t). Для визначення вірогідності попадання нормально розподіленої випадкової величини х в заданий інтервал (х₁;х₂) знаходять різницю F_(Х2) - F_(Х1), тобто

Р(х₁<x<x₂ ) = F_(Х2) - F_(Х1) = (1/2 + Ф(t₂ )) - (1/2 + Ф(t₁)) = Ф(t ₂ ) - Ф( t₁ ) (5.19)

 

Функції F_(Х) й Ф(t) базуються на стандартизованих відхиленнях

 

(5.20)

 

де x₁,x₂ – відповідно нижня та верхня межа інтервалу,

х - середньоарифметичне значення х,

s - середнє квадратичне відхилення.