Таблиця 5.7- Розрахунок критерію

Номер групи	Частота	Відхилення f - f'	(f - f')2
f	f'
		6,08	-1,08	1,166	0,19
		23,04	2,96	8,762	0,38
		31,36	0,64	0,410	0,01
		15,84	-2,84	8,066	0,51
		2,88	1,12	1,254	0,44
Разом		79,2	0,8	х	1,53

 

Існує два способи оцінки близькості емпіричного розподілу до теоретичного:

1. За першим визначається вірогідність Р(c²) досягнення критерієм даної величини. Якщо ця вірогідність перевищує 0,05, то відхилення фактичних частот від теоретичних вважаються випадковими. Якщо ж Р(c²)<0,05, то відхилення вважаються істотними, а емпіричний розподіл - відмінним від теоретичного.

2. За іншим способом фактичні значення c² порівнюються з критичними для вірогідності 1-a (де a - достатньо мала величина, наприклад 0,01; 0,05; 0,1) та числа ступенів свободи k. Критичне значення c²_1-(k) - максимально можливе значення c² за умови випадкового походження відхилень f - f'. Якщо фактичне значення перевищує критичне c²>c²_1-a(k), то відхилення між емпіричними та теоретичними частотами слід вважати істотними. В протилежному випадку, істотність відхилень залишається недоведеною.

Величина c²залежить від числа груп, з яких складається сукупність. Тому значення вірогідності Р(c²) та критичні значення c²табульовані (див. додаток 11 та додаток 1 відповідно) в залежності від числа ступенів свободи k, яке є різницею між зменшеним на одиницю числом груп в сукупності й числом загальних характеристик теоретичного розподілу. Для нормального розподілу число ступенів свободи k=m-3, де m - число груп.

 

Для нашого прикладу при c²=1,53 і k=2 визначимо, що Р(c²>1,53) = 0,487. Тобто, вірогідність отримати при двох ступенях свободи c²>1,53 значно перевищує 0,05. Значить, відхилення фактичних частот від теоретичних можна вважати випадковими, а сам розподіл - нормальним.

Критичні значення c² для вірогідності 0,9 (1-0,1) складають (додаток 1):

Число ступенів c²_0,9(k)

свободи

2 4,6

3 6,3

4 7,8

5 9,2

В нашому прикладі критичне значення c²_0,9(2)=4,6. Фактичне значення c²=1,53 менше критичного, тобто з вірогідністю 0,9 можна затверджувати, що емпіричний розподіл відповідає теоретичному нормальному закону.

 

Критерій згоди Пірсона є дуже строгою математичною оцінкою ступеня згоди емпіричного та теоретичного розподілів. Звичайно він застосовується для кількісної оцінки збігу теоретичного й емпіричного розподілу в сукупностях, що містять не менше 50 ознак та при числі ознак в інтервалі не менше 5.

Визначення критерію l засновано на зіставленні сум накопичених емпіричних та теоретичних частот й проводиться за формулою

 

(5.23)

де D- максимальне (по абсолютній величині) значення різниці між накопиченими емпіричними та теоретичними частотами,

n=f-обсяг сукупності або сума емпіричних частот (сума теоретичних частот може дещо відрізнятися від даної величини за рахунок точності обчислень).

Для нашого прикладу =0,281 або 2,52:Ö80 (див. табл. 5.8).

Таблиця 5.8 - Розрахунок критерію .

Номер групи	Накопичені частоти	Відхилення ½Sf - Sf'½
емпіричні, Sf	теоретичні, Sf'
		6,08	1,08
		29,12	1,88
		60,48	2,52
		76,32	0,32
		79,2	0,8

 

Далі за допомогою спеціальних таблиць (див. табл.5.9) визначається вірогідність близькості між емпіричним та теоретичним розподілом при знайденому значенні l

Можливо також порівняння l з критичним значенням для вірогідності Р(l). Якщо критичне значення більше розрахункового, то емпіричний розподіл відповідає теоретичному.

Таблиця 5.9- Таблиця вірогідності для

	P( )		P( )		P( )
0,30	1,000	1,00	0,270	1,70	0,006
0,40	0,999	1,10	0,178	1,80	0,003
0,50	0,964	1,20	0,112	1,90	0,002
0,60	0,864	1,30	0,068	2,00	0,0007
0,70	0,711	1,40	0,040	2,10	0,0003
0,80	0,544	1,50	0,022	2,20	0,0001
0,90	0,393	1,60	0,012	2,31	0,0000

 

Як видно з таблиці 5.9 вірогідність близькості між теоретичним та емпіричним розподілами (або вірогідність того, що l не перевищить 0,281) близька до одиниці.

 

В загальному випадку слід заздалегідь упевнитися в тому, що аналізований розподіл за природою своєї тотожний нормальному. Тільки при цій умові критерій Колмогорова дає об'єктивну оцінку ступеню їх близькості. Критерій згоди Пірсона c² використовують для оцінки близькості емпіричних та теоретичних частот при аналізі як нормального, так й інших видів розподілів (наприклад тоді, коли випадкова величина має розподіл Пуассона).

Величини c² і k використовуються також для обчислення критерію згоди Романовського

(5.24)

 

Якщо величина цього критерію менше 3, розбіжність між емпіричним та теоретичним розподілом можна вважати неістотною. Якщо ж цей критерій виявляється більше 3, то слід вважати, що теоретичний розподіл не може служити моделлю для емпіричного, що вивчається.

Розглянуті вище критерії згоди дають загальну оцінку ступеню близькості емпіричного розподілу до нормального, але не містять ніякої інформації про характер розбіжностей між ними. Тому при істотних відхиленнях f-f' аналіз розподілу слідує доповнювати характеристиками ассиметрии та ексцесу.