Решение.

а)Длинырёбер и находим как длины векторов и :

;

;

;

.

б) Угол между рёбрами и находим как угол между векторами и по формуле: . Учитывая, что: , , получим . Откуда

в)Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения векторов, по формуле . Учитывая, что:

, , получим .

г)Объём пирамиды находим, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов, по формуле . Учитывая, что:

,

,

получим .

д)Уравнение плоскости грани находим как уравнение плоскости, проходящей через точки , и , и записываем его в виде общего уравнения плоскости:

е)Длину высоты пирамидынаходим как расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением :

.

Ответ: а) , ; б); в);

г); д); е) .

101–110.Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её:

а) ;б);

в).

Решение:

а)Так как , , то уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям: . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части уравнения ,преобразуем его следующим образом:

.

Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии параллельными координатным осям. Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4)проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктиром прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко при бесконечном удалении от начала координат приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 1).

Ответ:Гипербола с центром в точке (см. рис.1)..