Решение.

А) Метод Крамера.

1а)Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

.

2а) Так как , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

3а) Вычисляем определители :

,

,

.

4а) Находим решение: .

5а) Выполняем проверку: .

Ответ: .

Б) Метод обратной матрицы.

1б)Записываем систему уравнений в матричном виде:

или

2б)Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

3б) Так как , то матрица системы имеет обратную матрицу и единственное решение системы определяется формулой:

или

4б)Находим обратную матрицу (методом присоединённой матрицы):

.

Тогда .

5б)Находим решение:

.

6б) Выполняем проверку: .

Ответ: .

В) Метод Гаусса.

1в)Записываем расширенную матрицу системы:

.

2в)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице треугольного или трапециевидного вида с элементами . Система уравнений, матрица которой является треугольной с элементами , имеет единственное решение, а система уравнений, матрица которой является трапециевидной с элементами , имеет бесконечно много решений.

.В результате элементарных преобразований матрица системы преобразована к специальному виду . Система уравнений, матрица которой , является треугольной с ненулевыми диагональными элементами , имеет всегда единственное решение, которое находим, выполняя обратный ход.

Замечание. Если при выполнение преобразования расширенной матрицы в преобразованной матрице появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.

3в)Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех неизвестных:.

4в) Выполняем проверку: .

Ответ: .

 

 

41-60.Найти общее решение систем методом Гаусса:

а) .