АЛГЕБРА - ЭКЗАМЕН

1. Числа Фибоначчи.

F{n} = F{n-1} + F{n-2} = 1+1+2+3+5+8+13+21…

Свойства:

F{n} = (C{n-1})^0 + (C{n-1})^1 + (C{n-1})² + …

F{1}² + F{2}² + … + F{n}² = F{n} * F{n+1}

a² = 1 – a, a³ = 2a-1, a^4 = 2 – 3a, a^5 = 5a – 3; a^n = (-1)^n * (F{n-1} – F{n} * a)

 

2. Комплексные числа. Действия над ними. Тригонометрическая и показательная форма К.Ч.

a) Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i² = –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

b)

c) Z = (x, 0) – чисто действительное число.

Z = (0, y) – чисто мнимое.

 

d)

e) Показательная форма К.Ч (Формула Эйлера):

e^iφ = Cos(φ) + sin(φ)

 

3. Формула Муавра, извлечение корня из комплексных чисел.

a) Формула Муавра:

Z = x + iy = r(Cos(φ) + iSin(φ)

Z² = r²(Cos(φ) + iSin(φ))² = r²(Cos(2φ)+iSin(2φ)

Z^n = r^n(Cos(nφ) + iSin(nφ))

b) Извлечение корня из К.Ч.:

 

 

4. Определители, свойства, вычисление.

Если соответствующие элементы двух столбцов (или двух строк) определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю.

Значение определителя не изменится, если поменять местами строки и столбцы, сохранив их порядок.

Если все элементы какой-либо строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Миноры и их алгебраические дополнения.

a) Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащий данный элемент.

b) Алгебраическим дополнением данного элемента называется его минор, умноженный на ( - 1)k, где k - сумма номеров строки и столбца, содержащих данный элемент.

Таким образом, знак, который при этом приписывается минору соответствующего элемента определителя, определяется следующей таблицей:

+ - +

- + - и т. д.

Верна общая теорема: определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения. Эта теорема позволяет вычислять значение определителя, раскрывая его по элементам любой его строки или столбца.

 

 

6. Матрицы, действия над ними, ранг матрицы.

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

a)

 

b) Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

 

c) Разность матриц определяется аналогично

d)

.

 

e)

 

f)

 

 

g)

 

h) Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов.

 

7. Обратная матрица, свойства, нахождение.

a) Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

 

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)

 

Справедлива следующая теорема:

 

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

b) Обратная матрица, это A^T * |A|;

 

 

8. Неоднородные СЛАУ, правило Крамера.

 

a)

 

 

b)

Бро, я надеюсь ты вспомнишь, что тут нужно перетаскивать столбец s[i] по определителю.

 

9. Метод Гаусса.

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных.

Суть метода Гаусса состоит в преобразовании к системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных.

Метод Гаусса предназначен для решения систем линейных уравнений. Относится к прямым методам решения.

10. Метод обратной матрицы.

 

Метод обратной матрицы (Матричный метод) решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу свободных членов.

Определитель не должен быть равен нулю.

Преимущества метода:

- простой метод.

Недостатки метода:

- высокая ресурсоемкость вычисления обратной матрицы;

- чувствительность к ошибкам округления.

 

11. Базисный минор, теорема Кронекера-Капелли.

a) Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

 

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

 

Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

 

b) Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

 

 

12. Однородные СЛАУ, решение, фундаментальная система решений.

 

13. Многочлены, их корни, делители.

Для любых f и g всегда есть такие q(x) и r(x), такие что:

F(x) = g(x)*q(x) + r(x)

Если f и g делятся на r(x) – то и (f±g) / r(x)

 

14. Основная теорема алгебры.

 

Всякое алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффициентами имеет n комплексных корней.

 

 

15. Рациональные дроби. .

a) f(x), g(x) – многочлены. f(x)/g(x) – несократимы, если x/y ← просты.

x(x-1)/x(x+3) ← Сократимая.

(x – 1) / (x + 2)(x + 3) ← Несократимая.

Рациональная дробь – если в числителе и знаменателе есть многочлен в целой степени.

b) Всякая рациональная дробь равна некоторой дроби, которая определена с точностью до константы.

Всякая рациональная дробь представима, единственным образом, в виде многочлена и несократимой дроби.

 

F(x)/g(x) =( q(x) + r(x) )/ g(x)

Это называется выделением целой части из рациональной дроби.

 

c) Всякая рациональная дробь разлагается на сумму простейших рациональных дробей.

 

 

16. Векторы, базис, линейные операции над векторами,

a) Вектор – это направленный отрезок прямой.

b) Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

c) Поддерживается коммутативность, ассоциативность,

d)

e)

 

 

17. Скалярное произведение векторов, свойства.

 

 

 

18. Векторное произведение векторов, свойства, приложение.

19. Смешанное произведение векторов, свойства, приложение.