Многочленом называется с коэффициентами из некоторого поля P.Здесь - степень одночлена. Наибольшая из степеней одночленов называется степенью многочлена.
Суммой двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого есть сумма соответствующих коэффициентов многочленов.
Произведение многочленов сводится к попарному произведению всех слагаемых и приведению подобных.
Говорят, что многочлен f делит многочлен g (f|g), если существует многочлен h, такой что g=fh
Свойства делимости:
1)Если f|g и g|h, то f|h
2)Если f|g и f|h, то f|(g +h)
3)Если f|g,то для любого h: f|gh
4)Пусть и и . Тогда если f|g, то , такое что
5) Если f|g и g|f,
Доказательство:
1) , то есть f|h
2) , то есть f|(g +h)
3)
4) , откуда очевидно, что и
5) и
Теорема о делении с остатком.
Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .
Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.
Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что и .
Доказательство. Существование.
Пусть . Положим .
.
Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :
Пусть . Положим
Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда
Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.
Единственность. Предположим, что
1) . Значит, ,
2) .
Получили противоречие. Этот случай невозможен.