Линейная оболочка системы векторов

Пусть V – векторное пространство над полем P и . Линейной оболочкой называется пересечение всех подпространств V, содержащих А.

Теорема: Пусть . Тогда - множество всех возможных линейных комбинаций векторов из A. В частности, A линейно полно в своей линейной оболочке.

Доказательство: Покажем, что . В самом деле, для принадлежит каждому подпространству, содержащему по определению подпространства. Поэтому принадлежит пересечению всех подпространств, содержащих , а это по определению , поэтому .

С другой стороны, множество также является подпространством векторного пространства V, содержащим множество , и поэтому не может быть шире H. Значит, .