Базис и размерность

Пусть V – векторное пространство над полем P и . А – линейно полное (или система образующих, или система порождающих), если любой вектор из V выражается линейно через конечное множество векторов из А.

Теорема: об очистке линейно полного множества

Пусть А – линейно полное и линейно выражается через другие элементы из А. Тогда - линейно полное.

Базисом пространства называется линейно полное множество линейно независимых векторов в этом пространстве.

Теорема: о выборе базиса

Из каждого конечного полного множества векторов можно выбрать базис.

Теорема: о дополнении до базиса

Пусть в пространстве есть конечный базис. Тогда всякое конечное линейно независимое множество векторов можно дополнить до конечного базиса пространства, причём в качестве дополняющих векторов взять векторы из любого конечного базиса .

Теорема: критерий базиса

- базис в векторного пр-ва V любой вектор из V единственным образом выраж. через .

Если число векторов базиса конечно, то пространство называется конечномерным, а число базисных векторов – размерностью (dim V) этого пространства. Если базис не является конечным множеством, то пространство называется бесконечномерным.

Теорема: корректность определения

Доказательство: из всех базисов выберем наименьший. Он непуст, т.к. . Обозначим базисные векторы через . В другом базисе есть . Рассмотрим - линейно полное, но линейно зависимое множество, т.к. по определению базиса выражается через . Значит, по критерию базиса, есть , которое выражается через , поэтому исключаем из базиса : . Это множество линейно независимо, т.к. в противном случае при выкидывании ещё одного вектора мы получили бы базис из (n-1) вектора, но в исходном базисе было n векторов и он был самым маленьким – противоречие.

Теперь рассмотрим и т.д. В итоге базис превратится в базис , так как каждый раз мы вводим в базис вектор и исключаем из базиса . Получим, что - базис. Значит, во всех базисах одинаковое количество векторов.