Пары форм.

 

Пусть дана пара действительных квадратичных форм от неизвестных, и . Существует ли такое невырожденное линейное преобразование неизвестных , которое одновременно приводило бы обе эти формы к каноническому виду?

В общем случае ответ будет отрицательным. Рассмотрим, например, пару форм

.

Пусть существует невырожденное линейное преобразование

приводящее обе эти формы к каноническому виду. Для того чтобы форма могла быть приведена указанным преобразованием к каноническому виду, один из коэффициентов должен быть равен нулю, иначе вошло бы слагаемое . Меняя, если нужно, нумерацию неизвестных , можно положить, что и поэтому . Мы получим теперь, однако, что

.

Так как форма также должна была перейти в канонический вид, то , т. е. , что вместе с противоречит невырожденности указанного линейного преобразования.

Ситуация будет иной, если мы положим, что хотя бы одна из наших форм, например , является положительно определенной.

ТЕОРЕМА. Если и пара действительных квадратичных форм от неизвестных, причем вторая из них положительно определенная, то существует невырожденное линейное преобразование, одновременно приводящее форму к нормальному виду, а форму к каноническому виду.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выполним сначала невырожденное линейное преобразование неизвестных ,

,

приводящее положительно определенную форму к нормальному виду,

.

Форма перейдет при этом в некоторую форму от новых неизвестных,

.

Совершим теперь ортогональное преобразование неизвестных ,

,

приводящее форму к главным осям,

.

Это преобразование переводит сумму квадратов неизвестных в сумму квадратов неизвестных (что следует из формулы ). В результате мы получаем

,

.

т. е. линейное преобразование

является искомым. □