Рассмотрим произвольное линейное пространство над полем . Отображение называется линейной функцией, если
Нетрудно проверить, что если и линейные функции, то и , такие что и , так же являются линейными функциями. Поэтому, множество всех линейных функций, заданных в образуют линейное пространство относительно их сложения и умножения числа на функцию.
ЛЕММА. (о существовании и единственности линейной функции). Для любого базиса линейного пространства и любого набора существует единственная линейная функция , такая, что
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть произвольный вектор из . Зададим отображение следующим образом:
,
Очевидно, что .
Проверим, что линейная функция. Пусть . Тогда
.
Докажем единственность. Предположим, что существует другая линейная функция , удовлетворяющая условию леммы, т. е.
. Тогда . □
Пусть унитарное пространство. Положим по определению для любых и фиксированного . Тогда имеет место
ТЕОРЕМА. Функция является линейной и однозначно определяется по . Обратно, для каждой линейной функции существует элемент , такой что .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале докажем линейность функции. Действительно
.
Пусть теперь , тогда . При имеем , т. е. . Тем самым показано, что каждому соответствует единственная линейная функция .
Наконец, пусть произвольная линейная функция, заданная в пространстве . Докажем, что существует элемент , такой, что для любых . Пусть ортонормированный базис пространства . По лемме, существует единственный набор , такой, что . Рассмотрим вектор
,
тогда . Для произвольного вектора , имеем
. □