1. Одночлени.Розглянемо дві групи виразів:
а, b3, 5, 32, 9аb2, -2x4y3, m2n
і
3 + 2а, а - b, 5 + х2.
Яка особливість виразів першої групи? Чим вони відрізняються від виразів другої групи?
Вирази першої групи ¾ це змінні, числа, їхні степені й добутки. Такі вирази називають одночленами. У загальному вигляді одночлен ¾ це добуток чисел, змінних та їхніх степенів.
Вирази другої групи не є одночленами, бо містять дії додавання або віднімання.
Розглянемо одночлен -4а2b3. Він містить тільки один числовий множник, який стоїть на першому місці, і степені різних змінних. Такий одночлен називають одночленом стандартного вигляду.
Одночленом стандартного вигляду називають такий одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і степені різних змінних.
Числовий множник одночлена стандартного вигляду називають коефіцієнтом одночлена. Коефіцієнт одночлена -4а2b3 дорівнює -4. Вважають, що коефіцієнти одночленів а3 і -bс відповідно дорівнюють 1 і -1, бо а3 = 1 × а3 і -bс = -1 × bс.
Одночлен 5а3b2а4 не є одночленом стандартного вигляду, бо містить два степені з основою а. Помноживши а3 на а4, цей одночлен можна записати у вигляді одночлена стандартного вигляду: 5а3b2а4 = 5(а3а4)b2 = 5а7b2.
2. Множення одночленів. Перемножимо одночлени -3а2b і 4аb3. Використовуючи властивості дії множення і властивості степенів, матимемо:
-3а2b × 4аb3 = (-3 × 4) × (а2а) × (bb3) = -12а3b4.
Отже, добутком одночленів -3а2b і 4аb3 є одночлен -12а3b4. Взагалі, добутком будь-яких одночленів є одночлен.
3. Піднесення одночлена до степеня. Піднесемо одночлен -5а2b до куба. Використовуючи властивості степенів, матимемо:
(-5а2b)3 = (-5)3 × (а2)3 × b3 = -125а6b3.
Отже, кубом одночлена -5а2b є одночлен -125а6b3. Взагалі, натуральним степенем будь-якого одночлена є одночлен.
4. Степінь одночлена. В одночлена 3а2bх3 сума показників степенів усіх змінних дорівнює 2 + 1 + 3 = 6. Цю суму називають степенем одночлена, кажуть, що 3а2bх3 ¾ одночлен шостого степеня.
Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, що входять до нього. Якщо одночленом є число, то вважають, що степінь такого одночлена дорівнює нулю.
Наприклад: -а2b7 ¾ одночлен дев’ятого степеня; 2а2 ¾ одночлен другого степеня; 3х ¾ одночлен першого степеня; -2 ¾ одночлен нульового степеня.
Приклади розв’язання вправ
Приклад 1. Записати вираз у вигляді одночлена стандартного вигляду:
а) 6аb2 × (-4аb); б) -3а3b × 4а2с × 3с3; в) (-x2y × 4xy2)3.
● а)6аb2 × (-4аb) = (6 × (-4)) × (аа) × (b2b) = -24а2b3.
Скорочений запис: 6аb2 × (-4аb) = -24а2b3.
б)-3а3b × 4а2с × 3с3 = (-3 × 4 × 3) × (а3а2) × b × (сс3) = -36а5bс4.
Скорочений запис: -3а3b × 4а2с × 3с3 = -36а5bс4.
в) (-x2y × 4xy2)3 = (-4x3y3)3 = -64x9y9. ●
Приклад 2. Подати одночлен 4a4b6 у вигляді:
а) добутку двох одночленів стандартного вигляду;
б) добутку двох одночленів, одним з яких є 2a2b2;
в) квадрата одночлена стандартного вигляду.
● а)4a4b6 = 4a2b4 × a2b2 (або 4a4b6 = 4a4 × b6, 4a4b6 = -2ab × (-2a3b5) тощо);
б)4a4b6 = 2 × 2 × a2 × a2 × b2 × b4 = 2а2b2 × 2а2b4;
в) 4a4b6 = (2a2b3)2. ●