Множення многочлена на многочлен

Помножимо многочлен а + b на многочлен c + d. Щоб звести множення цих многочленів до множення многочлена на одночлен, позначимо много­член c + d через х. Тоді:

(a + b)(c + d) = (a + b)x = ax + bx.

Повернувшись до заміни х = c + d, матимемо:

ax + bx = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Отже, добутком многочлена а + b і многочлена c + d є многочлен ac + ad + bc + bd:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Вираз ac + ad + bc + bd ми одержали б одразу, якби помножили a на c і d, потім b на c і d і одержані добутки додали. Можна сказати й так: добуток ac + ad + bc + bd можна одержати, якщо помножити кожний член многочлена a + b на кожний член многочлена с + d й одержані добутки додати.

Приходимо до такого правила:

Щоб помножити многочлен на многочлен, досить кожний член одного многочлена помножити на кожний член іншого многочлена й одержані добутки додати.

Помножимо за цим правилом многочлен 2а² + b² на многочлен 2а - b:

(2а² + b²)(2а - b) = 2a² × 2a + 2a² × (-b) + b² × 2a + b² × (-b) =

= 4a³ - 2a²b + 2ab² - b³.

Виконуючи множення многочленів, проміжні результати можна не записувати:

(2а² + b²)(2а - b) = 4a³ - 2a²b + 2ab² - b³.

У наведених прикладах добуток двох многочленів ми записували у вигляді многочлена. Взагалі, добуток будь-яких многочленів завжди можна записати у вигляді многочлена.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Виконати множення:

а) (2x² - xy + 4y²)(2x - 3y); б) (a + b)(а + 1)(b - 1).

● а)(2x² - xy + 4y²)(2x - 3y) = =

= 4x³ - 8x²y + 11xy² - 12y³.

б)Знайдемо добуток перших двох многочленів, а потім одержаний добуток помножимо на третій многочлен:

(a + b)(а + 1)(b - 1) = (a² + а + bа + b)(b - 1) =

= a²b - a² + аb - a + b²a - ba + b² - b = a²b - a² - a + ab² + b² - b. ●

Приклад 2. Розв’язати рівняння (х - 2)(2х + 3) - х(2х + 4) = 3.

● 2х² + 3х - 4х - 6 - 2х² - 4x = 3; -5х - 6 = 3; -5х = 9; х = -1,8.

Відповідь. -1,8. ●