Вправи для повторення

456.За 2 ручки і 8 зошитів Олег заплатив 4 грн. 20 коп. Скільки коштує ручка, якщо вона на 10 к. дорожча від зошита?

457.Моторний човен проплив 72 км, рухаючись 3 год проти течії річки і 2 год — за течією. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість човна у стоячій воді дорівнює 15 км/год.

458.Від пристані А до пристані В катер плив на 20 хв довше, ніж від В до А. Знайдіть відстань між пристанями, якщо швидкість катера у стоячій воді дорівнює 19,2 км/год, а швидкість течії річки — 2,4 км/год.

459. Розв’яжіть рівняння:

a) |3x – 6| = 9; б) 2|x| – 3 = |x|;

в) |x - 4| = 3(4 – |x – 4|); г) |x|(|x| – 1) = 2 + |x|².

460. Обчисліть:

а)37 · 48 + 37 · 52; б) 9,3 · 5,6 – 9,3 · 5,5; в) 1,6 · 8,8 – 3,8 · 1,6.

461. Запишіть одночлен 24a³b⁴ у вигляді добутку двох одночленів, одним із яких є:

а) 3a²b²; б) 8b³; в) -4ab⁴; г) -12a³.

14. Розкладання многочленів на множники
способом винесення спільного множника за дужки

1. У шостому класі ми розкладали на множники числа. Наприклад, число 60 можна записати у вигляді добутку двох чисел 12 і 5:

60 = 12 × 5.

Кажуть, що число 60 розкладено на два множники 12 і 5.

Розкладати на множники можна і многочлени. Наприклад,

аb + аc = а(b + c).

Записавши многочлен аb + ac у вигляді добутку а(b + c), кажуть, що многочлен ab + аc розкладено на два множники а і b + c. Кожний із цих множників є многочленом (перший многочлен складається лише з одного члена).

Розкласти многочлен на множники означає подати його як добуток
кількох многочленів.

Порівняйте

а(b + c) = аb + аc	—	помножили одночлен на многочлен; результат — многочлен
аb + аc = а(b + c)	—	розклали многочлен на множники; результат — добуток одночлена і многочлена

2. Розглянемо один зі способів розкладання многочленів на множники.

Виконаємо множення одночлена на многочлен:

x(x + y) = x × x + x × y = x² + xy.

Перепишемо ці рівності у зворотному порядку:

x² + xy = x × x + x × y = x(x + y).

Многочлен x² + xy розклали на два множники x та x + y. Щоб розкласти многочлен x² + xy на множники, досить у його членах x² та xy виділити спільний множник x: x² + xy = x × x + x × y, а потім на основі розподільної властивості множення записати одержаний вираз у вигляді добутку многочленів x та x + y.

Описаний спосіб розкладання многочленів на множники називають способом винесення спільного множника за дужки.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники многочлен 12х³y - 18x²y².

● Спочатку знайдемо спільний числовий множник для коефіцієнтів 12 і -18. Якщо коефіцієнтами є цілі числа, то за
спільний числовий множник беруть, як правило, найбільший спільний дільник модулів цих коефіцієнтів. У нашому випадку це число 6. Степені з основою х входять в обидва члени многочлена. Оскільки перший член містить x³ = x² × х, а другий ¾ x², то спільним множником для степенів з основою х є x² (за дужки виносять змінну з меншим показником). У члени многочлена відповідно входять множники у і у², за дужки можна винести y. Отже, за дужки можна винести одночлен 6x²y:

12х³y - 18x²y² =6х²y × 2х - 6х²y × 3y =6х²y(2х - 3y). ●

Приклад 2. Розкласти на множники многочлен -2a²b - 8a²b² + 10ab².

● -2a²b - 8a²b² + 10ab² =-2ab(a + 4аb - 5b). ●

Приклад 3. Розкласти на множники: 5b(a - c) + 3(a - c).

● Даний вираз є сумою двох доданків, для яких спільним множником є вираз a - c. Винесемо цей множник за дужки:

5b(a - c) + 3(a - c) = (a - c)(5b + 3). ●

Приклад 4. Розкласти на множники: 2x(m - n) + y(n - m).

● Доданки мають множники m - n і n - m, які відрізняються тільки знаками. У виразі n - m винесемо за дужки -1, тоді другий доданок матиме вигляд -y(m - n) й обидва доданки матимуть спільний множник m - n.

Отже,

2x(m - n) + y(n - m) = 2x(m - n) - y(m - n) = (m - n)(2x - y). ●

Приклад 5. Знайти значення виразу 8,5а² + а³, якщо а = 1,5.

● Розкладемо спочатку многочлен 8,5а² + а³ на множники:

8,5а² + а³ = а²(8,5 + а).

Якщо а = 1,5, то:

а²(8,5 + а) = 1,5² × (8,5 + 1,5) = 2,25 × 10 = 22,5. ●

Приклад 6. Розв’язати рівняння 4х² + 5х = 0.

● Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

х(4х + 5) = 0.

Добуток х(4х + 5) дорівнює нулю лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

х = 0 або 4х + 5 = 0, звідки х = 0 або х = -1,25.

Відповідь. 0; -1,25. ●