Вправи для повторення
566. Швидкість велосипедиста у 2,5 разу більша від швидкості пішохода. За 2 год пішохід долає відстань, що на 2,5 км менша від відстані, яку долає велосипедист за 1 год. Знайдіть швидкість пішохода.
567.Вкладник вніс до банку 4000 грн. За перший рік йому нарахували 8% річних, а потім банківський відсоток збільшився. У кінці другого року на рахунку вкладника було 4752 грн. Скільки відсотків річних став давати банк після збільшення ставки?
568*.Сплав міді й цинку, загальна маса якого дорівнює 3,6 кг, містить 45% міді. Скільки кілограмів міді потрібно додати до цього сплаву, щоб одержати новий сплав, який містив би 60% міді?
569. Замініть степінь добутком і запишіть одержаний добуток у вигляді многочлена:
а)(a + 1)2; б)(2b - 1)2; в)(5 - 2x)2.
570. Запишіть у вигляді виразу:
а) суму квадратів змінних х і у; б) квадрат суми змінних х і у;
в) різницю квадратів змінних а і с; г) квадрат різниці змінних а і с.
17. Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів
1. Квадрат суми двох виразів. Піднесемо до квадрата суму a + b:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + аb + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Отже,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Одержану тотожність називають формулою квадрата суми. Вона є
формулою скороченого множення, бо дозволяє підносити до квадрата суму довільних двох виразів не за правилом множення двох многочленів, а скорочено: відразу записувати квадрат у вигляді тричлена a2 + 2ab + b2. Формулюють формулу квадрата суми так:
| Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу. |
Піднесемо до квадрата суму 2x + 3y :
(2x + 3y)2 = (2х)2 + 2 × 2x × 3y + (3y)2 = 4х2 + 12xy + 9y2.
При піднесенні суми 2x + 3y до квадрата проміжні перетворення можна виконувати усно:
(2x + 3y)2 = 4х2 + 12xy + 9y2.
2. Квадрат різниці двох виразів. Піднесемо до квадрата різницю a - b:
(a - b)2 = (a + (-b))2 = a2 + 2а(-b) + (-b)2 = a2 - 2ab + b2.
Отже, маємо таку формулу квадрата різниці:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
| Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу. |
Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів ще називають квадратом двочлена.
Квадрати протилежних чисел дорівнюють один одному: (-а)2 = a2. Тому при піднесенні до квадрата виразів -a - b та -a + b можна користуватися формулами:
(-a - b)2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(-a + b)2 = (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
Для тих, хто хоче знати більше
Щоб піднести суму або різницю двох виразів до куба, можна використовувати формули куба суми або куба різниці:
(a + b)3 = a3 + 3а2b + 3ab2 + b3;
(a - b)3 = a3 - 3а2b + 3ab2 - b3.
Виведемо ці формули.
1. (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2аb + b2) =
= a3 + 2а2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3а2b + 3ab2 + b3.
2. (a - b)3 = (a + (-b))3 = a3 + 3а2(-b) + 3a(-b)2 + (-b)3 = a3 - 3а2b + 3ab2 - b3.
Формулюють формулу куба суми так:
| Куб суми двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потроєний добуток квадрата першого виразу і другого плюс потроєний добуток першого виразу і квадрата другого плюс куб другого виразу. |
Формулу куба різниці формулюють аналогічно.
Приклади розв’язання вправ
Приклад 1. Піднести до квадрата вираз:
а) хy - 2z2; б)-3m - n; в)-х + 5у; г) a + b - c.
● а) (хy - 2z2)2 = (хy)2 - 2·хy·2z2 + (2z2)2 = х2y2 - 4хyz2 + 4z4;
б)(-3m - n)2 = (–(3m + n))2 = (3m + n)2 = 9m2 + 6mn + n2;
в)(-х + 5у)2 = (х - 5у)2 = х2 - 10ху + 25у2;
г) (a + b - c)2 = ((a + b) - c)2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2 =
= a2 + 2ab + b2 - 2ac - 2bc + c2. ●