Вправи для повторення
676.Спростіть вираз:
а) (2x - y)(x - 2y) + 5xy; б) (3a - b)(-a + 3b) + 3(a2 + b2);
в)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1) - (а2 + 1)2.
677. Обчисліть:
а) 410 - (45 + 3)(45 - 3); б) 212 × 312 - 4 - (66 + 4)(66- 4).
678.Поїзд затримали на станції А на 10 хв, однак він надолужив згаяний час на перегоні між станціями А і В, пройшовши його зі швидкістю 105 км/год, замість запланованої швидкості 90 км/год. Знайдіть відстань між станціями А і В.
679*.Розв’яжіть рівняння:
а)|2х + 5| = |3х - 2|; б)|х(х + 1)| = |2х|.
21. Застосування кількох способів
для розкладання многочленів на множники
Часто, розкладаючи многочлен на множники, потрібно використати
кілька способів. Якщо це можливо, то розкладання доречно починати з винесення спільного множника за дужки.
Розглянемо кілька прикладів.
1. Розкладемо на множники многочлен 7a2b2 - 7b4.
7a2b2 - 7b4 = 7b2(a2 - b2) = 7b2(a - b)(a + b).
Спочатку винесли спільний множник 7b2 за дужки, а потім застосували формулу різниці квадратів.
2. Розкладемо на множники многочлен 6aс - 9с - 24abc + 36bc.
Усі члени многочлена мають спільний множник 3с. Винесемо його за дужки:
6aс - 9с - 24abc + 36bc = 3с(2a - 3 - 8ab + 12b).
Многочлен 2a - 3 - 8ab + 12b розкладемо на множники способом групування:
2a - 3 - 8ab + 12b = (2a - 3) - 4b(2a - 3) = (2a - 3)(1 - 4b).
Отже,
6aс - 9с - 24abc + 36bc = 3с(2a - 3)(1 - 4b).
Приклади розв’язання вправ
Приклад 1. Розкласти на множники тричлен:
а) х2 - 6х - 16; б) а2 + 2аb - 8b2.
● а)Якщо до виразу х2 - 6х = х2 - 2×3×х додати 32, тобто 9, то одержимо вираз х2 - 6х + 9, який є квадратом двочлена х - 3. Тому, виділивши квадрат цього двочлена, матимемо:
х2 - 6х - 16 = х2 - 6х + 9 - 9 - 16 = (х - 3)2 - 25 = (х - 3)2 - 52 =
= (х - 3 - 5)(х - 3 + 5) = (х - 8)(х + 2);
б)a2 + 2ab - 8b2 = a2 + 2ab + b2 - b2 - 8b2 = (a + b)2 - 9b2 =
= (a + b - 3b)(a + b + 3b) =(a - 2b)(a + 4b). ●
Приклад 2. Розкласти на множники многочленm2 - 4n2 - mk - 2nk.
● m2 - 4n2 - mk - 2nk = m2 - (2n)2 - (mk + 2nk) =
= (m - 2n)(m + 2n) - k(m + 2n) = (m + 2n)(m – 2n - k). ●
Приклад 3. Розв’язати рівняння 18x3 - 2х = 0.
● Розкладемо ліву частину рівняння на множники:
18x3 - 2х = 2х(9х2 - 1) = 2х(3х - 1)(3х + 1).
Маємо рівняння
2х(3х - 1)(3х + 1) = 0,
звідки: х = 0, або 3х - 1 = 0, або 3х + 1 = 0; х = 0, або х = 
, або х = -.
Відповідь. 0; ; -. ●
Рівень А
Розкладіть на множники:
680. a)7a2 - 7b2; б)km2 - kn2;в)9x2 - 36;
г)4a3 - 4a; д)x4 - x2; е)ca2 - 9cb2;
є)2a3 - 2b3; ж)27c + b3c.
681.a)5p2 - 5q2; б)3b2 - 27;в)24 - 6a2; г)3y4 - 3y2;
д)18xy2 - 2x; е)4k3 + 32;є)6a - 6ab3; ж)a3 - a5.
682. а)3p2 + 6pq + 3q2; б)-b2 + 2bc - c2; в) 81 - 54b + 9b2;
г) 2xb2 + 8xb + 8x; д) 9a3 + 6a2 + a; е) m - 10m2 + 25m3.
683. а) 4x2 + 8x + 4; б) n - 14nc + 49nc2;
в)-6a2 + 24ab - 24b2;г) x3 - 12x2 + 36х.
Знайдіть значення виразу:
684. а)4x2 - 4у2, якщо x = 51; у = 49;
б) 5a2 - 10ab + 5b2, якщо a = 7,3; b = 2,3.
685.а)3m2 + 6mn + 3n2, якщо m = 4,8; n = 5,2;
б) 10a2 - 10b2, якщо a = 63; b = 37.
Розв’яжіть рівняння:
686. а) 8x2 - 72 = 0; б)12x2 - 3 = 0.
687.а) 5x2 - 125 = 0; б)50x2 - 2 = 0.
Рівень Б
Розкладіть на множники:
688. a)a4 - n4; б)k4 - 16.
689. a) x4 - 1; б) 81 - b4.
690. а) 3mn + 24n - 9m - 72; б) bx4 - x4 + bx3 - x3;
в)-4abc - 32bc - 12ac - 96c; г)2y4 - 2y3a + 2y2ab - 2y3b;
д) 1,5a2 - 0,5a2x + 1,5ax - 0,5ax2; е) x2y2a - x2y2 + 5axy - 5xy.
691.a)4ac + 2bc + 4xac + 2xbc; б)m2a - m2b + 3am - 3bm;
в) -a3b - a2b2 - a2b - ab2; г) 0,2x4 + 0,6x3y - 0,4x3 - 1,2x2y.
692. а) x2 - 2xy + y2 - z2; б) 
x2 - a2 - 2ab - b2;
в)c2 + 9 - 6c - k2; г)4x2 - 4y - y2 - 4.
693. а) m2 + 2mn + n2 - k2; б) 
а2 - 4x2 - 4xy - y2;
в)a2 - 8a - b2 + 16; г)p2 - 25 + 10q - q2.
694.Розкладіть многочлен a2 + 2ab + b2 - c2 + 2c - 1 на множники. Доведіть, що коли a + b + с = 1, то значення цього многочлена дорівнює нулю.
695.Розкладіть на множники многочлен a2 + 2a + 1 - b2 - c2 + 2bc та знайдіть його значення, якщо a = -1 і b = с.
Розкладіть на множники:
696. а) a2 - b2 + a + b; б)x2 - a2 + x - a;
в)4x2 + y - 2x - y2; г)3,5x2 - 3,5y2 - x + y.
697. а) c2 - b2 + c - b; б)x + y + x2 - y2 ;
в)a2 + 4,8ab - x2 - 4,8xb.
Розкладіть на множники та знайдіть значення виразу:
698. а) x2 - y2 + (x + y)2, якщо х = 
у = 
б) a2 + (a + 4)2 - 16, якщо а = 96.
699.а) a2 - b2 + (a - b)2, якщо а = 
b = 
б) (m - 2)2 + m2 - 4, якщо m = 102.
Розв’яжіть рівняння:
700. а) x3 - x = 0; б)1,6y3 - 0,4y = 0;
в)x3 - 4x2 - 4x + 16 = 0; г)2z3 - z2 = 8z - 4;
д)x4 - x3 - x2 + x = 0; е)x3 - 2x2 + 4x - 8 = 0.
701.а) x3 - 4x = 0; б)1,2z3 - 0,3z = 0;
в)x3 - x2 - 9x + 9 = 0; г)4y3 - y2 = 4y – 1.
Рівень В
Розкладіть на множники:
702. а) х2 + 2х - 8; б) а2 - 8а + 12;
в) 4с2 - 4с - 3; г) х2 - 6ху + 5y2;
д) а2 + 12аb + 11b2; е) 9а2 - 6аb - 8b2.
703. а)2a2 + a - 4ab - b + 2b2; б)a3 - b3 - (a - b)3.
704.Розв’яжіть рівняння:
а) х2 - 8х + 7 = 0; б) у2 + 12у + 20 = 0;
в)(x - 1)2 - 6(x - 1) + 8 = 0; г) (x - 1)(x - 3)(x2 - 3) = (x - 1)(x - 3).
705.Доведіть тотожність:
a6 - b6 = (a - b)(a + b)(a2 - ab + b2)(a2 + ab + b2).
706.Доведіть, що значення виразу 334 + 992 - 330 - 990 ділиться на 80.
707.Доведіть, що значення виразу 1110 + 4 × 749 + 1111 - 4 × 748 ділиться на 12.
708.Доведіть, що рівність a3 + b2 = ab(а + 1) є правильною тільки тоді, коли b = а або b = а2.