Вправи для повторення

740.Довжина прямокутника дорівнює n м, а ширина на k м менша. Запишіть у вигляді виразів периметр та площу прямокутника.

741. Турист деяку відстань проплив моторним човном проти течії річки за 1,2 год, а назад повертався плотом протягом 7,2 год. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість човна у стоячій воді дорівнює 21 км/год.

742. Поле, площа якого дорівнює 568 га, поділено на 3 ділянки так, що площа третьої ділянки на 52 га менша від суми площ перших двох ділянок, а площа першої ділянки відноситься до площі другої як 2:3. Знайдіть площу кожної ділянки.

743. Для яких значень коефіцієнта а рівняння aх = 3 має єдиний корінь? Чи існує таке значення а, для якого це рівняння не має коренів?

Цікаво знати

Формули скороченого множення античні математики використовували задовго до нашої ери. На той час формули подавалися не у звичному нам символічному вигляді, а формулювалися словами.

Учені Давньої Греції алгебраїчні твердження, формули, що виражають певні залежності між величинами, трактували геометрично, подаючи величини у вигляді відрізків. Так, добуток ab вони розглядали як площу прямокутника зі сторонами а та b. Наведемо приклад алгебраїчного твердження, яке було відомим давньогрецьким ученим, і яке в геометричній термінології формулювалося так: площа квадрата, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на кожному з цих відрізків, плюс подвоєна площа прямокутника, побудованого на цих відрізках.

Не важко здогадатися, що йдеться про формулу квадрата суми, яку ми зараз символічно записуємо так:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Запитання і вправи для повторення § 5

1.Чому дорівнює добуток різниці двох виразів та їх суми?

2.Запишіть і сформулюйте формулу квадрата суми двох виразів; квадрата різниці двох виразів.

3.Чому дорівнює різниця квадратів двох виразів?

4.Наведіть приклад тричлена, який можна записати у вигляді квадрата суми; квадрата різниці.

5.Чому дорівнює сума кубів двох виразів?

6.Чому дорівнює різниця кубів двох виразів?

7.Які способи розкладання многочленів на множники вам відомі?

744.Виконайте множення:

а)(5 - a)(5 + a); б) (3b + 2a)(3b - 2a); в) (х + у²)(х - у²);

г)(-с + 0,4)(0,4 + с); д) (-m - 5n)(m - 5n); е) (ab + 2a²)(ab - 2a²).

745.Піднесіть до квадрата:

а)(а - 2b)²; б)(3x + 2х²)²; в)(-0,5ab - 2c)².

Спростіть вираз:

746. а)(a - 6)(a + 6) + (3 - a)(3 + a);

б)(3x² - 1)(3x² + 1) - (1 - 3x²)²;

в)(5а - 2b)² + (2а + 5b)² - 29b²;

г) (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² - 2(a² + b² + c²);

д)(a² - b²)(a² + b²)(a⁴ + b⁴) + a⁸ + b⁸.

747.Доведіть тотожність:

а)(a + b)(a - b) - (a - c)(a + c) = (c - b)(c + b);

б)(n + 1)² + (n + 5)² - 3 = (n + 2)² + (n + 4)² + 3;

в)(m - 2)(m + 2)(m² + 4)(m⁴ + 16) = m⁸ - 256.

748.Обчисліть:

а)96 × 104; б)52 × 48; в)19,8 × 20,2; г) 7,5 × 8,5.

749.Розв’яжіть рівняння:

а)(х - 3)(х + 3) - х(х + 2) = 1; б)(2х + 5)² = (2х - 3)²;

в) г)(5х + 3)(5х - 3) + = (5х - 1)².

750. Доведіть, що для кожного цілого значення n значення виразу:

а)(2n + 1)(2n - 1) - (n + 1)² - n - 1 ділиться на 3;

б)(2n + 7)(8n - 8) - (4n + 5)² не ділиться на 6.

751. Доведіть, що значення виразу (k - 2)² + (k + 2)² - 2(k - 4)(k + 4) не залежать від значень k.

Розкладіть на множники:

752. а)3а² - 3; б)х³ - 4x; в)х⁴у² - x²у⁴;

г)1,44a² - b⁴; д)(с² + 1)² - 4с²; е)а² - 2ab + b² - 1;

є)25m² - (4m - 4)²; ж)х² - у² - x - у; з)2а² - 2b² - (а - b)².

753. а)а³ - 64; б)х³ + 8z³; в)(х + 2)³ - у³.

754. а)а⁵ - а³ + а² - 1; б)z⁴ + z³ - 8z - 8; в)2х⁴ - 2x³ - 2x + 2.

755*.a)(х² + хy + y²)² - (x³ - y³)²; б) x⁴ + 4.

Розв’яжіть рівняння:

756. а)х³ - 9x = 0; б)у(у² + 3) = 4у;

в)х³ - 5х² - x + 5 = 0; г)2z³ + 3z² = 2z + 3.

757*. а) x² - 4х + 4 + 2(x - 1)² = 0; б)(x² + 1)² + (x² - х)² = 1;

в)|х(х - 1)| + x² - 2х + 1 = 0.

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

758. а)401² - 199² на 600; б)85³ - 48³ на 37;

в)58³ + 42³ на 100; г)7³³ + 7³¹ на 50.

759. а)8²⁵ - 64¹² на 7; б)16⁹ - 32⁸ + 8¹² на 7.

760.Доведіть, що вираз x² - 14x + 50 набуває лише додатних значень.

761.Доведіть, що вираз 4x - x² - 5 набуває лише від’ємних значень.

762.Знайдіть найменше значення виразу:

а)x² + 8x + 17; б)а² - 8аc + 16c² + 16.

763.Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних цілих чисел є непарним числом.

764.Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.

765*.Доведіть, що значення виразу 15¹⁰ - 15³ + 225⁶ - 211³ ділиться на 226.

766*.Доведіть, що різниця квадратів двох цілих чисел, які не діляться на 3, кратна 3.

767*.Доведіть, що не існує чисел х та у, для яких виконувалася б рівність:

а)х² + у⁴ - 4x - 2у² + 7 = 0; б)2х² + 4у² - 4xу - 2x + 3 = 0.

Завдання для самоперевірки № 5

1 рівень

1.Виконайте множення (a - х)(a + х) і вкажіть правильну відповідь:

a) a² - 2ах + х²; б)a² + 2ах + х²; в)a² + х²; г)a² - х².

2. Піднесіть до квадрата (b - 4)² і вкажіть правильну відповідь:

а) b² - 4b + 16; б) b² – 16;в) b² - 8b + 16;г) b² + 8b + 16.

3. Розкладіть на множники многочлен у² - 9 та вкажіть правильну відповідь:

a)(у - 9)(у + 9); б)(у - 3)(у - 3); в) (у - 3)(у + 3); г) (у + 3)(у + 3).

4.Обчисліть 85² – 15² та вкажіть правильну відповідь:

а)140; б) 4900; в) 7000; г) 6125.

5.Подайте тричлен х² + 4х + 4 у вигляді квадрата двочлена та вкажіть правильну відповідь:

а) (х - 2)²; б) (х + 4)²; в) (х – 4)²; г) (х + 2)².

6.Подайте тричлен a² - 10a + 25 у вигляді квадрата двочлена та вкажіть правильну відповідь:

а) (а - 10)²; б) (а - 5)²; в) (а - 3)²; г) (а + 5)².

2 рівень

1.Спростіть вираз (3 - a)(3 + a) + (1 - a)² та знайдіть його значення, якщо a = 0,5.

2.Піднесіть до квадрата:

а)(4 + 3b)²; б) (2a – 5)².

3.Розв’яжіть рівняння:

а)(х – 2)² - x² = 12; б)(x + 3)(х – 3) – x² = 3x.

4. Розкладіть на множники:

a)9у² - 16; б)3x² - 3y²; в) 27a³ - b³.

5Подайте у вигляді квадрата двочлена:

a)9a² + 12a + 4; б)100a² + b² - 20ab.

3 рівень

1.Спростіть вираз:

а)(2x - 7y)² + (2x + 7y)² - 8x²; б)(2 - 3b²)(3b² + 2) + (3b² - 1)².

2.Доведіть тотожність: (a + 1)(a – 1)(a² + 1) – (a² – 1)² – 2a² = –2.

3. Розкладіть на множники:

а)b⁶ - 4b⁴; б)0,001a³ - 27b³; в)0,8a³ + 0,4a² + 0,4a⁴.

4.Доведіть, що вираз -x² + 10x - 27 набуває лише від’ємних значень.

5.Розв’яжіть рівняння:

а)-(2х + 3)² + (х + 5)(2х + 5) = 16; б) x² - 2x - 35 = 0.

4 рівень

1.Спростіть вираз:

а)((x + 2y²)(x – 2y²))² + 16y⁸; б)(a + 1)(a – 1)(a² + a + 1)(a² – a + 1).

2.Розкладіть на множники:

а)m³ - n³ + 3m² + 3mn + 3n²; б)а² + b² + c² - x² + 2ab + 2bc + 2ca.

3.Розв’яжіть рівняння:

а)(x² - 1)(x² + 1)(x⁴ + 1) = x⁸ + 4x; б)x³ - 9 = x - 9x².

4.Число n при діленні на 5 дає в остачі 3, а число m ¾ в остачі 4. Доведіть, що число n² + m² ділиться на 5.

5.Доведіть, що многочлен набуває лише невід’ємних значень.

 

 

Розділ ІІІ. Функції

Усе в природі перебуває у стані зміни і розвитку. Вивчаючи явища, пов’язані із цією невід’ємною рисою природи, вчені дійшли до понять змінної величини і функції. У даному розділі ми з’ясуємо, що таке функція, графік функції, що таке лінійна функція та які її властивості.

 

 

§ 6. ФУНКЦІЇ

23. Функція. Способи задання функції

1. Функції та способи їх задання. Нехай сторона квадрата дорівнює а см, а його периметр — Р см. Знаючи сторону а, за формулою P = 4а можна знайти відповідне їй значення периметра P. Наприклад,

якщо а = 6, то P = 4 · 6 = 24;

якщо а = 0,1, то P = 4 · 0,1 = 0,4;

якщо а = 2,5, то P = 4 · 2,5 = 10.

Бачимо, що значення периметра залежать від того, яких значень ми надавали довжині сторони квадрата. Зауважимо також, що кожному значенню довжини сторони відповідає одне певне значення периметра. Так, значенню а = 6 відповідає значення P = 24, значенню а = 0,1 — значення P = 0,4.

У даному прикладі маємо дві залежні змінні а і P — довжину сторони квадрата і його периметр. Значення змінної а можна вибрати довільно, а значення змінної Р залежать від вибраних значень а. Тому а називають незалежною змінною, а Р ¾ залежною змінною.

Розглянемо ще один приклад залежності між змінними.

Водій вирішив простежити за лічильником, яку відстань він проїде за 1 год, 2 год, 3 год, 4 год, 4,5 год, 5 год. Результати спостережень він записав у вигляді таблиці:

t, год					4,5
S, км

У даному прикладі маємо дві залежні змінні: час t і шлях S, пройдений за цей час. Значення шляху залежать від значень часу. Так, часу t = 2 відповідає значення шляху S = 170, часу t = 4,5 — значення шляху S = 335. До того ж, кожному значенню часу відповідає одне певне значення шляху. Тому в даному випадку t є незалежною змінною, а S — залежною змінною.

У математиці, як правило, незалежну змінну позначають буквою х, а залежну змінну — буквою у. У розглянутих прикладах кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної. За таких умов для залежної змінної використовують термін «функція».

Означення

Змінну у називають функцією від змінної х, якщо кож-ному значенню змінної х відповідає одне певне значення змінної у.

Для незалежної змінної теж є спеціальний термін: її називають аргументом. Кажуть: у є функцією від аргументу х.

Отже, в розглянутих прикладах:

периметр Р квадрата є функцією від довжини його сторони а; тут Р — функція, а — аргумент;

шлях S є функцією від часу t; тут S — функція; t — аргумент.

Перша функція задана формулою P = 4а. Друга функція задана таблицею.

2. Область визначення та область значень функції. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), утворюють область визначення функції; усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), утворюють область значень функції.

Так, область визначення функції, що задається формулою P = 4а, утворюють усі значення, яких може набувати змінна а. Оскільки ця змінна визначає довжину сторони квадрата, то а може набувати лише додатних значень. Отже, область визначення цієї функції утворюють усі додатні числа.

Область значень функції, що задається формулою P = 4а, утворюють усі значення, яких може набувати залежна змінна Р. Периметр Р не може дорівнювати від’ємному числу або нулю, однак може дорівнювати будь-якому додатному числу. Наприклад, Р може дорівнювати 2, бо 2 — це периметр квадрата зі стороною 0,5. Отже, область значень цієї функції утворюють усі додатні числа.

Область визначення функції, заданої таблицею, утворюють числа
1; 2; 3; 4; 4,5; 5 (числа першого рядка таблиці); область значень цієї функції утворюють числа 82; 170; 225; 300; 335; 380 (числа другого рядка таблиці).

Розглянемо функцію, задану формулою y = x² + 1, де 0 £ х £ 10. Такий запис означає, що областю визначення функції є всі значення х, які задовольняють нерівності 0 £ х £ 10.

Якщо функція задана формулою y = x² + 1 і не вказано, яких значень можна надавати аргументу, то вважають, що область визначення функції утворюють усі числа.

 

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Автомобіль, рухаючись зі швидкістю 80 км/год, проходить за t год шлях S км. Задати формулою функцію S від t. Знайти значення функції, які відповідають значенням аргументу: 2; 2,5; 4.

● Функція задається формулою S = 80t. Якщо t = 2, то S = 80 · 2 = 160; якщо t = 2,5, то S = 80 · 2,5 = 200; якщо t = 4, то S = 80 · 4 = 320. ●

Приклад 2.Починаючи із третьої години, через кожну годину міряли атмосферний тиск і записували дані в таблицю:

t, год
р, мм рт. ст.

Залежність між якими змінними задає ця таблиця? Чи задає таблиця функцію? Який тиск у мм ртутного стовпчика був о 4 год; о 8 год? Яка область визначення функції; область значень?

● Таблиця задає залежність між годинами t доби й атмосферним тиском р. Змінна р є функцією від змінної t, бо кожному значенню t відповідає єдине значення р. Якщо t = 4, то за таблицею знаходимо: р = 748. Отже, о 4 годині атмосферний тиск був 748 мм рт. ст. Аналогічно о 8 годині — 755 мм рт. ст. Область визначення функції утворюють числа 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9, а область значень — числа 746, 748, 751, 752, 755 і 756. ●

Приклад 3.Функція задана формулою y = х² - 3. Скласти таблицю значень аргументу і відповідних значень функції, надавши аргументу таких значень: -6; -3; -2; 0; 2; 3; 6.

	x	-6	-3	-2
●	y				–3				●

Приклад 4.Для яких значень аргументу значення функції дорівнює -3, якщо функція задана формулою:

а) y = 2x - 5; б) y = х² + x - 3; в) y = х² + 1?

● а) Щоб знайти значення х, для яких у = -3, розв’яжемо рівняння 2x - 5 = -3: 2x = 2; х = 1. Отже, функція набуває значення у = -3, якщо х = 1.

б)х² + x - 3 = -3; х² + x = 0; х(х + 1) = 0;

x = 0 або х + 1 = 0; x = 0 або х = –1.

Функція набуває значення -3, якщо х = 0 або х = –1.

в)х² + 1 = -3; х² = –4 — рівняння коренів не має. Значення -3 дана
функція не набуває. ●