Вправи для повторення

38.У сьомих класах навчається 84 учні, що становить усіх учнів школи. Скільки всього учнів у школі?

39.У місті зараз проживає 52 000 жителів. Відомо, що населення цього
міста щороку збільшується на 4%.

а)Скільки жителів буде в місті через рік?

б)Скільки жителів було в місті рік тому?

3. Лінійні рівняння з однією змінною

Розглянемо рівняння

2х = –4; –1,7х = 5,1; 0х = 2,4.

Ліва частина кожного із цих рівнянь є добутком деякого числа й змінної, а права частина — деяким числом. Такі рівняння називають лінійними
рівняннями з однією змінною.

Числа a і b називають коефіцієнтами лінійного рівняння.

Коли, розв’язуючи рівняння, виконують певні перетворення, зводячи дане рівняння до більш простого, то в багатьох випадках отим «простим» рівнянням є саме лінійне рівняння.

З’ясуємо, скільки коренів може мати лінійне рівняння. Для цього розглянемо спочатку такі три рівняння:

1) 3х = 2; 2) 0х = 2; 3) 0х = 0.

1) Щоб розв’язати рівняння 3х = 2, досить обидві його частини поділити на 3. Одержимо один корінь:

2) У рівнянні 0х = 2 значення лівої частини дорівнює 0 для будь-якого числа х. Права ж частина рівняння відмінна від нуля. Отже, дане рівняння коренів не має.

3) Рівність 0х = 0 є правильною для будь-якого числа х. Тому коренем рівняння 0х = 0 є будь-яке число (рівняння має безліч коренів).

У загальному випадку для лінійного рівняння aх = b матимемо:

якщо а ¹ 0, то рівняння має єдиний корінь

якщо а = 0, а b ¹ 0, то рівняння коренів не має;

якщо а = 0 і b = 0, то коренем рівняння є будь-яке число (рівняння має безліч коренів).

Підсумок

aх = b ¾ лінійне рівняння	Коефіцієнти	Корені
а ¹ 0	¾ єдиний корінь
а = 0 і b ¹ 0	коренів немає
а = 0 і b = 0	коренем є будь-яке число (рівняння має безліч коренів)

Для тих, хто хоче знати більше

Рівняння з модулями

Нагадаємо, що модулем додатного числа й числа 0 є це саме
число, модулем від’ємного числа є протилежне йому число:

|а| = а, якщо а ≥ 0; |а| = –а, якщо а < 0.

Так, |1,4| = 1,4; |0| = 0; |–2| = 2. Модуль будь-якого числа x є невід’ємним числом, тобто |x| ³ 0.

Рівняння |x| = 3, |x – 5| = 1, |2x – 3| = 0, |x| + 3x = 1 містять змінну під знаком модуля. Такі рівняння називають рівняннями з модулем.

Рівняння виду |x| = a. Розв’язуючи рівняння виду |x| = a, де a — деяке відоме число, можна використовувати геометричний зміст модуля числа: модуль числа
x — це відстань від початку відліку до точки, що зображує число x на координатній прямій.

Розглянемо рівняння |x| = 2. На координатній прямій існують дві точки, розміщені на відстані 2 одиниці від початку відліку. Це точки, що відповідають числам 2
і –2 (рис. 1). Тому рівняння |x| = 2 має два корені: 2 і –2.