Вправи для повторення

65.Обчисліть:

а) б)

66. З міст А і В одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі й зустрілися через 1,5 год. Швидкість одного автомобіля дорівнює а км/год, а іншого ¾ b км/год. Запишіть у вигляді виразу відстань між містами.

67. Легковий автомобіль наздоганяє вантажний. Швидкість легкового автомобіля дорівнює а км/год, а вантажного ¾ b км/год. Запишіть у вигляді виразу відстань між автомобілями за 0,2 год до зустрічі.

68. Швидкість катера у стоячій воді (ще кажуть: власна швидкість катера) дорівнює а км/год, а швидкість течії річки — b км/год. Запишіть у вигляді виразу відстань, яку пропливе катер, рухаючись 2 год за течією річки і 3 год проти течії.

69. З кошика взяли 3 яблука, потім — третину решти яблук і ще 3 яблука. Після цього в кошику залишилася половина початкової кількості яблук. Скільки яблук було в кошику спочатку?

4. Розв’язування задач за допомогою рівнянь

Розв’язуючи задачі за допомогою рівнянь, здебільшого дотримуються такої схеми: 1) вибирають невідоме й позначають його буквою x (або якою-небудь іншою буквою); 2) використовуючи умову задачі, складають рівняння; 3) розв’язують рівняння і відповідають на поставлені в задачі запитання.

Розглянемо приклади.

Задача 1.У двох цистернах зберігається 66 т бензину, до того ж, у першій
бензину в 1,2 разу більше, ніж у другій. Скільки бензину в кожній цистерні?

● Нехай у другій цистерні є х т бензину, тоді в першій ¾ 1,2х т. У двох цистернах разом є (1,2х + х) т бензину, що за умовою дорівнює 66 т. Маємо рівняння:

1,2х + х = 66.

Розв’яжемо це рівняння: 2,2х = 66; х = 66 : 2,2; х = 30.

Отже, у другій цистерні є 30 т бензину, а в першій — 1,2 × 30 = 36 (т).

Відповідь. 36 т, 30 т. ●

Зауваження. Щоб розв’язати задачу 1, можна міркувати й так. Нехай у другій цистерні є х т бензину, тоді в першій ¾ (66 - х) т. У першій цистерні бензину в 1,2 разу більше, ніж у другій, тому 66 - х = 1,2х. Далі залишається розв’язати це рівняння і записати відповідь до задачі.

Задача 2.З міста А в місто В виїхав вантажний автомобіль. Через 30 хв назустріч йому з міста В виїхав легковий автомобіль, швидкість якого на 25 км/год більша, ніж вантажного. Автомобілі зустрілися через 1,3 год після виїзду вантажного автомобіля з міста А. Знайти відстань між
містами, якщо за весь час руху вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий.

● Нехай швидкість вантажного автомобіля дорівнює х км/год, тоді швидкість легкового ¾ (х + 25) км/год.

До моменту зустрічі вантажний автомобіль був у дорозі 1,3 год, а легковий на 30 хв = 0,5 год менше: 1,3 год - 0,5 год = 0,8 год. За 1,3 год вантажний автомобіль проїхав 1,3х км, а легковий за 0,8 год.— 0,8(х + 25) км. Оскільки вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий, то різниця шляхів 1,3х км і 0,8(х + 25) км дорівнює 10 км.

	Швидкість (км/год)	Час (год)	Шлях (км)
Вантажний автомобіль	х	1,3	1,3х
Легковий автомобіль	х + 25	0,8	0,8(х + 25)

Маємо рівняння: 1,3х - 0,8(х + 25) = 10.

Розв’яжемо це рівняння:

1,3х - 0,8х - 20 = 10; 0,5х = 30; х = 60.

Отже, швидкість вантажного автомобіля дорівнює 60 км/год.

Відстань між містами дорівнює сумі відстаней, які проїхали обидва автомобілі, тобто (1,3х + 0,8(х + 25)) км. Знайшовши, що х = 60, матимемо:

1,3х + 0,8(х + 25) = 1,3 × 60 + 0,8 × (60 + 25) = 78 + 68 = 146 (км).

Відповідь. 146 км. ●

Примітка. Спираючись на розв’язання задач 1 і 2, проаналізуємо перші два кроки наведеної вище схеми розв’язування задач за допомогою рівнянь.

1) Вибір невідомого, яке ми позначали буквою, у розв’язаннях цих задач був різний. У задачі 1 ми позначили через х т одну з шуканих величин (масу бензину в другій цистерні). У задачі 2 шуканою величиною є відстань між містами. Якщо цю величину позначити через х км, то при складанні рівняння доведеться провести доволі складні міркування. Ми ж через х км/год позначили невідому швидкість вантажного автомобіля, виразили через х шляхи, які проїхали автомобілі, й склали рівняння, знаючи, що різниця шляхів дорівнює 10 км.

Отже, позначати через х (або якою-небудь іншою буквою) бажано ту невідому величину, через яку легше виражаються величини, значення яких можна прирівняти.

2) Щоб скласти рівняння, спочатку виражаємо через х ті величини, значення яких прирівнюватимемо. Після цього записуємо рівняння.

Математична модель.Вам, мабуть, уже доводилося бачити моделі човна, літака, автомобіля, виготовляти моделі куба, прямокутного паралелепіпеда. Кожна модель, залежно від її призначення, відображає певні властивості оригіналу.

Математична модель — це опис якогось реального об’єкта чи процесу мовою математики.

Опишемо мовою математики задачу 2. Шукаючи швидкість вантажного автомобіля у цій задачі, ми позначили її через х км/год. Швидкість легкового автомобіля на 25 км/год більша, ніж швидкість вантажного, що мовою математики записується так: швидкість легкового автомобіля дорівнює (х + 25) км/год.

Мовою математики шлях, який проїхав вантажний автомобіль, записується: 1,3х км, а шлях, який проїхав легковий автомобіль, — 0,8(х + 25) км.

За умовою задачі вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий, що мовою математики можна висловити так: різниця шляхів, які проїхали вантажний і легковий автомобілі, дорівнює 10 км і записати:
1,3х - 0,8(х + 25) = 10.

Одержане рівняння і є математичною моделлю задачі на рух автомобіля. Побудувавши математичну модель, ми звели задачу на рух до математичної задачі — розв’язати рівняння.

Крім рівнянь, є й інші види математичних моделей, з якими ми ознайомимося при подальшому вивченні алгебри.

Історія науки знає чимало прикладів, коли в межах вдало побудованої математичної моделі за допомогою обчислень, як кажуть, «на кінчику пера», вдавалося передбачити існування нових фізичних об’єктів та явищ. Так, спираючись на математичні моделі, астрономи Дж. Адамс (Англія) у 1845 році й У. Левер’є (Франція) у 1846 році незалежно один від одного дійшли висновку про існування невідомої тоді ще планети і вказали її розміщення. За розрахунками Левер’є астроном Г. Галле (Німеччина) знайшов цю планету. Її назвали Нептуном.

Рівень А

70.У двох мішках є 68 кг картоплі, до того ж, у першому мішку на 12 кг картоплі більше, ніж у другому. Скільки картоплі в кожному мішку?

71.У двох комп’ютерних класах є разом 33 комп’ютери, до того ж, в одному класі їх у 1,2 разу більше, ніж в іншому. Скільки комп’ютерів у кожному класі?

72.Агрофірма відвела під цукровий буряк землі у 3,5 разу більше, або на 560 га більше, ніж під картоплю. Скільки землі відвела агрофірма під цукровий буряк і скільки — під картоплю?

73. Батько утричі старший від сина. Відомо також, що він на 24 роки старший від сина. Скільки років батькові та скільки синові?

74.Два робітники виготовили 36 деталей, до того ж, кількість деталей, які виготовив перший робітник, становить 0,8 кількості деталей, які виготовив другий. Скільки деталей виготовив кожен робітник?

75.Оператор набрав на комп’ютері половину рукопису за 15 год. Другу половину рукопису він набрав на 2,5 год швидше, бо набирав за годину на 2 сторінки більше. Скільки сторінок має рукопис?

76.Перший автомобіль долає шлях між двома містами за 1,5 год, а другий за 1,2 год. Швидкість другого автомобіля більша від швидкості першого на 15 км/год. Знайдіть відстань між містами.

77.Периметр трикутника дорівнює 25 см. Знайдіть довжину кожної сторони трикутника, якщо:

а) перша сторона в 1,5 разу довша від другої, а друга ¾ на 4 см коротша від третьої;

б) довжина першої сторони на 5 см більша від довжини другої, а довжина третьої ¾ на 7 см менша від суми довжин перших двох.

78.Олег, Сергій та Віталій купили футбольний м’яч, ціна якого дорівнює 12 грн., до того ж, Олег витратив грошей на 2 грн. менше, а Сергій ¾ в 1,5 разу більше, ніж Віталій. Скільки грошей витратив на купівлю м’яча кожен хлопець?

79.Магазин продав за 3 дні 460 кг овочів. За другий день було продано овочів на 20 кг більше, ніж за перший, а за третій ¾ в 1,2 разу більше, ніж за другий. Скільки овочів продав магазин за кожний день окремо?

80.У трьох мішках є 135 кг цукру, до того ж, у першому на 15 кг більше, ніж у третьому, а в третьому в 1,2 разу менше, ніж у другому. Скільки цукру в кожному мішку?

Рівень Б

81.Перший велосипедист долає шлях між двома селами за 36 хв, а другий ¾ за 45 хв. Швидкість першого велосипедиста більша від швидкості другого на 4 км/год. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста і відстань між селами.

82.У першій корзині було на 12 яблук більше, ніж у другій. Після того як мама взяла з першої корзини 18 яблук, а з другої ¾ 14, у першій корзині яблук стало в 1,2 разу більше, ніж у другій. Скільки яблук було в кожній корзині спочатку?

83.З Чернівців одночасно виїхали два автомобілі й одночасно приїхали до Житомира. Перший автомобіль їхав зі сталою швидкістю. Другий же автомобіль перші 2 год їхав зі швидкістю на 12 км/год меншою, а решту 3 год ¾ зі швидкістю, в 1,1 разу більшою від швидкості першого автомобіля. Знайдіть відстань між містами.

84.З міста А до міста В одночасно виїхали автомобіль і мотоцикліст. Коли через 2,5 год автомобіль прибув до міста В, мотоциклісту до цього міста залишалося проїхати ще 75 км. Знайдіть відстань між містами, якщо швидкість автомобіля в 1,6 разу більша від швидкості мотоцикліста.

85. Човен проплив шлях між двома пристанями за течією річки за 1,2 год, а на зворотний шлях затратив 1,5 год. Знайдіть відстань між пристанями, якщо швидкість човна у стоячій воді дорівнює 22,5 км/год.

86. Від пристані А до пристані В за течією річки катер плив 3 год, а від В до А ¾ 4 год. Знайдіть швидкість катера у стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює 3 км/год.

87.Автомобіль мав подолати шлях завдовжки 140 км за 2 год. Деяку частину шляху він проїхав зі швидкістю 60 км/год, а решту шляху ¾ зі швидкістю 75 км/год. Скільки кілометрів проїхав автомобіль зі швидкістю 60 км/год, якщо відомо, що до місця призначення він прибув вчасно?

88.Зі Львова до Києва, відстань між якими 520 км, вийшов поїзд, а через годину назустріч йому з Києва вийшов другий поїзд, який проходить за годину на 4 км більше, ніж перший. Поїзди зустрілися через 4 год після відходу другого поїзда з Києва. Знайдіть швидкість кожного поїзда.

Вказівка. Розв’язуючи задачу, використайте схему:

89.Дідусь старший від свого внука в 4 рази. Якби дідусь був на рік молодший, то був би старшим від своєї внучки у 5 разів. Скільки років дідусеві, внукові й онучці, якщо внучка на 3 роки молодша від онука?

90.На двох полицях стояло 95 книжок. Коли четверту частину книжок, що були на першій полиці, переставили на другу, то на другій полиці книжок стало на 5 більше, ніж на першій. Скільки книжок стояло на кожній полиці спочатку?

91.У школі є три сьомих класи. Кількість учнів 7-А класу становить 35% від кількості всіх семикласників, а у 7-Б класі на 2 учні менше, ніж у 7-А. Скільки семикласників є у школі, якщо у 7-В класі навчається 26 учнів?

92.За зміну 3 робітники виготовили партію деталей. Перший робітник виготовив 30% усіх деталей, другий ¾ на 5 деталей менше, ніж третій, і на 2 деталі більше, ніж перший. Скільки всього деталей виготовили робітники?

93.Вранці вкладник зняв з рахунку в банку усіх грошей, а після обіду — 30% залишку. Після цього на його рахунку залишилося 175 грн. Який був початковий вклад?

Рівень В

94.Біля будинку стоять дві бочки, місткість кожної з яких дорівнює 100 л. У першій бочці є 20 л дощової води, а в другій ¾ 15 л. Пішов дощ, і щохвилини в першу бочку вливається 2 л води, а в другу ¾ 2,5 л. Через скільки хвилин води в бочках буде порівну? Знайдіть два варіанти відповіді.

95.За легендою, Піфагор на запитання про число учнів, що відвідують його школу, відповів так: «Половина учнів вивчає математику, чверть ¾ музику, сьома частина перебуває в мовчанні і, крім того, є ще три жінки». Скільки учнів було в Піфагора?

96.Зелена маса для силосу повинна мати певну вологість. Щоб вийшла така маса, змішують у певному співвідношенні рослини з різним вмістом води. Скільки потрібно взяти зеленої маси з вологістю 85% і маси з вологістю 35%, щоб одержати 1 т маси з вологістю 75%?

97.У двох бідонах є 70 л молока. Коли 12,5% молока, що було в першому бідоні, перелили у другий, то в обох бідонах молока стало порівну. Скільки літрів молока було в кожному бідоні спочатку?

98.Сплав міді, цинку й олова містить 32% олова, а міді ¾ на 40 г менше, ніж олова. Відомо також, що цинку в сплаві на 100 г більше, ніж міді. Знайдіть масу сплаву.

99. У процесі очищення руди кількість домішок у ній зменшується від 20% у добутій руді до 5% в очищеній. Скільки потрібно взяти добутої руди, щоб одержати 32 т очищеної?