Теорема Лапласа ( о разложении определителя по элементам строки или столбца) (без доказательства)

Теорема Лапласа. Пусть D – определитель n-го порядка, в котором произвольно выбраны k строк (или столбцов), где 1 ≤k ≤ n – 1.
Тогда определитель D равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.

Теорема Лапласа

Пусть в определителе порядка n выбраны нами k строк. Тогда сумма произведений миноров k-го порядка, содержащихся в указанных строках, на соответствующие алгебраические дополнения равна этому определителю.

Теорему проиллюстрируем на примере определителя четвёртого порядка. Выберем первую и третью строки, из них составим миноры и умножим их на соответствующие алгебраические дополнения:

 

Теорема Лапласа позволяет сводить вычисление определителя n-го порядка к вычислению нескольких определителей порядка k < n . Этих новых определителей оказывается довольно много и поэтому теорему Лапласа применять целесообразно лишь в том случае, когда в определителе можно так выбрать k строк, что многие из миноров k-го порядка, расположенных в этих строках, будут равны нулю.