Свойства векторного произведения.

Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы , то на основании свойств определителя легко обосновываются следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность ;
2. свойство дистрибутивности или ;
3. сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число.

Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению и . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому, , что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Пример.

Найдите длину векторного произведения векторов и , если известно .

Решение.

Мы знаем из определения, что длина векторного произведения векторов и равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, поэтому, .

Ответ:

.

Задачи второго типа связаны с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина или что-либо еще ищется через координаты заданных векторов и .

Здесь возможна масса различных вариантов. К примеру, могут быть заданы не координаты векторов и , а их разложения по координатным векторам вида и , или векторы и могут быть заданы координатами точек их начала и конца.