Годы | Центнеров с га | Скользящие пятилетние суммы | Пятилетние скользящие средние | Скользящие четырехлетние суммы | Четырехлетние скользящие средние (нецентрированные) | Четырехлетние скользящие средние центрированные |
А | ||||||
9,5 13,7 12,1 14,0 13,2 15,6 15,4 14,0 17,6 15,4 10,9 17,5 15,0 18,5 14,2 14,9 | - - - - 63,5 68,6 70,3 72,2 75,8 78,0 73,5 75,4 76,4 77,3 76,1 80,1 | - - 12,5 13,7 14,1 14,4 15,2 15,6 14,7 15,1 15,3 15,5 15,2 16,0 - - | - - - 49,3 53,0 54,9 58,2 58,2 62,6 62,4 57,9 61,4 58,8 61,9 65,2 62,6 | - - 12,3 13,2 13,7 14,6 14,6 15,7 15,6 14,5 15,3 14,7 15,5 16,3 15,65 - | - - 12,8 13,5 14,1 14,6 15,1 15,6 15,0 14,9 15,0 15,1 15,8 15,97 - - |
Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравнивания для анализа основной тенденции.
Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени – y = f(t).
Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.
Полиномы имеют следующий вид:
полином первой степени
полином второй степени
полипом третьей степени
полином n-ой степени
Здесь - параметры полиномов, t - условное обозначение времени. В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры - как изменения ускорения.
В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями), полиномы третьей степени - с постоянными третьими разностями и т.д.
После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения - это метод наименьших квадратов.
Суть данного метода изложена в главе 9.
Согласно этому методу, для нахождения параметров полинома р-й степени необходимо решить систему так называемых нормальных уравнений:
(10.16.)
Система 9.16. состоящая из «р» уравнений, содержит в качестве известных величин ,, то есть суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 0, 1, 2, …, p и неизвестных величин . Решение этой системы относительно и дает искомые значения параметров.
Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как . Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров прямой примет вид:
(10.17.)
для параболы второго порядка :
(10.18.)
Решение системы (10.17.) относительно искомых параметров и дает:
В статистической практике применяется упрощенный расчет параметров уравнений, который заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, кроме того, уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. В самом деле, если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3, …, n, то после переноса t = …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…, если число членов ряда нечетное. Если же число членов ряда четное , то t = …, -5, -3, -1, 1, 3, 5,… Следовательно, и все , у которых «р» - нечетное число, равны 0. Таким образом, вес члены уравнений, содержащие с такими степенями могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:
(10.19.)
для параболы второго порядка:
(10.20.)
Решая системы (10.19.), (10.20.) относительно неизвестных параметров, получим величины параметров соответствующих полиномов.
Параметр выражает начальную скорость роста, а коэффициент - постоянную скорость изменения прироста.
При сглаживании ряда динамики по показательной кривой () для определения параметров применяется метод наименьших квадратов к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров показательной функции необходимо решить следующую систему уравнений:
(10.21.)
Если , то параметры уравнения и находим по формулам:
; .
Рассмотрим следующий пример. Необходимо определить основную тенденцию ряда динамики урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1981-1995 гг. по следующим данным (см. табл. 10.7).
Начнем определение тенденции с самого простого полинома - уравнение прямой (10.19). Решая систему нормальных уравнений, получим искомые параметры: ; , а само уравнение запишется следующим образом: , что выражает тенденцию динамики урожайности зерновых культур в 1990-2005 гг., т.е. в течение исследуемого периода урожайность зерновых культур в хозяйстве увеличивалась в среднем на 0,17 ц. с га в год.
Таблица 10.7.