Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах

Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е₁, е₂,… , е_n ) и е¹ = (е₁¹, е₂¹,… , е_n¹ ). Пусть

(23)

Если ввести матрицу Т = ,

то систему (23) можно записать в матричном виде е1 = е×Т (24).

Матрица Т называется матрицей перехода от базиса е к базису е¹. Так как векторы е₁¹, е₂¹,… , е_n¹ линейно независимы, то матрица Т невырожденная.

Если вектор а в базисе е имеет координаты х = (a₁, a₂, … , a_n)^Т, а в базисе е¹ его координаты х¹ = (b₁, b₂,…, b_n)^Т, то а = е×х и а = е¹×х¹. отсюда е×х = е¹×х¹. Используя формулу (24), получим е×х = (е×Т)×х¹ = е× (Т×х¹). Отсюда х = Т×х¹ (25). Формула (25) даёт связь координат одного и того же вектора в разных базисах. Её называют формулой преобразования координат.

Пример. Пусть е = (е₁, е₂, е₃ , е₄ ) – базис в пространстве L₄. Пусть е₁¹ = 2е₁ – 3е₃ , е₂¹ = е₂ + е₄ , е₃¹ = 4е₁ + е₂ – е₄ , е₄¹ = е₂ + 3е₃ – е₄ ; е₁¹¹ = е₁ + е₂ , е₂¹¹ = е₁ – е₃ , е₃¹¹ = е₃ + е₄ , е₄¹¹ = е₃ – е₄ . Покажите, что е¹ = (е₁¹, е₂¹,… , е_n¹ ) и е¹¹ = (е₁¹¹, е₂¹¹,… , е_n¹¹ ) являются базисами в L.. Вектор а в базисе е¹ имеет координаты (1, 4, –2, 5). Найдите координаты этого вектора в базисе е¹¹.

Решение. Составим определители матриц перехода Т₁и Т₂ от базиса е к е¹ и е¹¹ соответственно.

|Т1| = ,

|Т2| = ,

|Т1|==–12

|Т₂| = = 2. Так как матрицы Т₁ и Т₂ невырожденные, то е¹ и е¹¹ – базисы.

Из формулы (25) следует х= Т₁×х¹, х= Т₂×х¹¹. Отсюда Т₁×х¹= Т₂×х¹¹, х¹¹ = (Т₂^-1×Т₁)×х¹.

Найдём Т₂^-1. Для этого вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы Т₂.

А₁₁= 0, А₁₂ = –= 1, А₁₃ = = 1, А₁₄ = –= 1, А₂₁ = –, А₂₂ = = –2, А₂₃ = –= –1, А₂₄ = = –1, А₃₁ = = 0, А₃₂ = –= 0, А₃₃ = = 1, А₃₄ = –= –1, А₄₁ = –= 0, А₄₂ = = 0. А₄₃ = – = 1, А₄₄ = = –1. Используя найденные алгебраические дополнения, получим Т₂^-1 = . Следовательно, = = . Итак, в базисе е¹¹ данный вектор имеет координаты ( –10; 0; –17).