Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Теорема 14. Непустое множество элементов В Ì L является линейным подпространством в L тогда и только тогда, когда для любых двух элементов в1 и в2 из В и любого lÎ Р выполняются условия: в1 + в2 Î В и l×в1 Î В.
Доказательство. Þ Если В – линейное подпространство, то условия теоремы, очевидно, выполнены.
Ü Если условия теоремы выполняются, то возьмём любой элемент в Î В. Тогда (–1)×в = –в принадлежит В. Итак, в В для каждого элемента есть противоположный. Но тогда и в + (–в) тоже принадлежит В, т.е. 0 Î В. Остальные требования определения 14 выполняются очевидно. Следовательно, В – линейное пространство над тем же полем, что и L.
Примеры линейных подпространств.
1. Пусть а1, а2, … , ак – любая система векторов из L. Множество всех линейных комбинаций этих векторов (т.е. элементов вида a1а1 + a2а2 + … + aкак) называется линейной оболочкой данной системы векторов и обозначается áа1, а2, … , акñ, или L(а1, а2, … , ак). Линейная оболочка любой конечной системы векторов из L является линейным подпространством в L.. Одним из базисов линейной оболочки является максимальная линейно независимая подсистема системы а1, а2, … , ак. Следовательно, размерность линейной оболочки равна рангу этой системы.
2. Множество многочленов степени не выше к (к £ n) с коэффициентами из поля Р является линейным подпространством в пространстве многочленов степени не выше n.
3. Множество компланарных геометрических векторов является линейным подпространством в пространстве всех геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.
4. Нулевой вектор является линейным подпространством в том линейном пространстве, которому он принадлежит.
5. Множество диагональных матриц порядка n является линейным подпространством во множестве квадратных матриц порядка n.
Пусть А и В – два линейных подпространства пространства L .
Определение 23. Суммой подпространств А и В называется множество всех возможных элементов вида а + в, где а Î А, в Î В. (Обозначение А + В)
Теорема 15. Сумма линейных подпространств из L есть линейное подпространство из L.
Доказательство. Пусть а1 + в1 и а2 + в2 – любые два элемента из А + В. Тогда (а1 + в1) + (а2 + в2) = (а1 + а2) + (в1 + в2) Î А + В, так как а1 + а2 Î А, в1 + в2 Î В. Кроме того l×(а + в) = l×а + l×в Î А + В, так как l×а Î А, l×в Î В. Следовательно, по теореме 14 сумма А+ В является линейным подпространством в L.
Теорема 16.Пересечение линейных подпространств из L есть линейное подпространство из L.
Доказательство проведите самостоятельно.
Теорема 17.Размерность суммы двух линейных подпространств равна сумме размерностей слагаемых минус размерность их пересечения.
Доказательство. Пусть С = А + В, где А и В линейные подпространства пространства L. Пусть D = А Ç В. Выберем базис d = (d1, d2, … , dк) в подпространстве D и дополним его векторами е = (е1, е2, … , еm) и f = (f1, f2 … , fs) так, чтобы система (е1, е2, … , еm, d1, d2, … , dк) была базисом в подпространстве А, а система (d1, d2, … , dк,f1, f2 … , fs ) была базисом в В. Покажем, что система (е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dк , f1, f2 … , fs) является базисом в подпространстве С. Если с Î С, то с = а + в. Так как а Î А, то а есть линейная комбинация векторов систем е и d. Так как в Î В, то в есть линейная комбинация векторов систем d и f . Но тогда с линейно выражается через векторы е, d и f . Остаётся показать, что система векторов (е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dк , f1, f2 … , fs) линейно независима. Для этого рассмотрим a1е1 + a2е2 + … + amеm + b1d1 + b2d2 + ... + bкdк + g1f1 + g2f2 + … + gsfs = 0. Вектор а = a1е1 + a2е2 + … + amеm + b1d1 + b2d2 + ... + bкdк лежит в подпространстве А. Но в то же время а = – g1f1 – g2f2 – … – gsfs . Следовательно, а Î В. Итак, а Î D . Если бы а не был нулевым вектором, то он не мог бы выражаться через векторы системы f . Следовательно, – g1f1 – g2f2 – … – gsfs = 0. Так как векторы системы f линейно независимы, то g1= g2= …= gs = 0. Но тогда a1е1 + a2е2 + … + amеm + b1d1 + b2d2 + ... + bкdк = 0. Так как система векторов (е, d ) линейно независима, то отсюда следует, что a1 = a2 = … = am = b1 = b2 = … = bк = 0. Итак, система (е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dк , f1, f2 … , fs) является базисом в подпространстве С. Отсюда dim C = m + k + s = (m + k) + (k + s) – k = dim A + dim B – dim D .