Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L1, что для любых векторов а и в из L и любого элемента l Î Р выполняются условия: j(а + в) = j(а) + j(в), j(lа) = lj(а).
Отображение j называется изоморфизмом.
Определение 24 можно заменить следующим эквивалентным определением.
Определение 25. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L1, что для любых векторов а и в из L и любых элементов l, m Î Р выполняется условие: j(lа + mв) = lj(а) + mj(в).
Свойства изоморфизма.
1. j(0) = 01, где 0 и 01 – нулевые вектора в пространствах L и L1 соответственно.
2. Если а1, а2, … , ак – любая система векторов из L и j(а1) = а11, j(а2) = а21, … , j(ак) = ак1, то j(a1а1 + a2а2 + … + aкак) = a1а11 + a2а21 + … + aкак1.
3. Если а1, а2, … , ак –линейно независимая система векторов из L и j(а1) = а11, j(а2) = а21, … , j(ак) = ак1, то система векторов а11, а21, … , ак1 – линейно независима в L1.
4. Если а1, а2, … , ак –линейно зависимая система векторов из L и j(а1) = а11, j(а2) = а21, … , j(ак) = ак1, то система векторов а11, а21, … , ак1 – линейно зависима в L1.
5. Если L – n-мерное линейное пространство, то L1 – тоже n-мерное линейное пространство.
6. При изоморфизме образом любого базиса из L является базис из L1.
Примеры изоморфных пространств.
1. Арифметическое линейное пространство Аn над полем Р изоморфно пространству многочленов степени не выше (n – 1) с коэффициентами из поля Р.
2. Пространство квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р изоморфно арифметическому линейному пространству размерности n2 над полем Р.