Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L® L
Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных преобразований, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы.
1. Если в пространстве Ln зафиксирован базис е = (е1, е2,… , еn ), то матрица А линейного преобразования j : Ln® Ln имеет вид
А = , столбцы которой – координаты образов базисных векторов е. | (35) |
2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид j(е) = е×А.
3. Связь столбцов координат вектора и его образа: х1 = А×х (36)
4. Если в пространстве Ln зафиксированы два базиса е = (е1, е2,… , еn) и е1 = (е11,е21,… , еn1) и Т – матрица перехода от е к е1, то связь матриц линейного преобразования в этих базисах задаётся формулой А1 = Т-1×А×Т (37).
Определение 36. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С–1×А×С.
5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны.
6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А и В одного и того же порядка n над полем Р и любого линейного пространства Ln над полем Р в Ln существуют такие базисы е и е1, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.
Доказательство. Пусть В = С–1×А×С. Зафиксируем в Ln какой-нибудь базис. Матрица А в этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это j). Так как матрица С невырожденная, то С–1 может быть матрицей перехода. Пусть е1= е×С–1. Тогда преобразование j в базисе е1 будет иметь матрицу С–1×А×(С–1 )–1 = С–1×А×С = В.
7. dim (j(Ln)) + dim (Kerj ) = n.
8. Множество всех линейных преобразований пространства Ln есть тоже линейное пространство над тем же полем Р, что и пространство Ln .
Определение 37.Линейное пространство линейных преобразований линейного пространства Ln называется линейным пространством, сопряжённым пространству Ln .
Пространство, сопряжённое Ln , обозначается Ln*.
9. Пространство Ln* изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р. Следовательно, dim (Ln* ) = n2.