Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j : Ln ® Ln – линейное преобразование. Если А –матрица этого преобразования в некотором базисе е, то в любом другом базисе j задаётся матрицей, подобной А, т.е. матрицей вида А1 = Т×А×Т–1 . Так как матрица Т невырожденная, то rang (A1) = rang (A).
Определение 38. Рангом линейного преобразования линейного пространства называется ранг его матрицы в любом базисе этого пространства.
Определение 39. Линейное преобразование линейного пространства называется невырожденным, если его ранг равен размерности пространства.
Теорема 36. Линейное преобразование j линейного пространства Ln является невырожденным тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
1) j (Ln ) = Ln ; 2) Ker(j) = 0; 3) j – взаимнооднозначное отображение Ln на себя;
4) при преобразовании j различные векторы имеют различные образы.