Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е = (е1, е2,... , еn ) диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами преобразования j.
Доказательство. Þ Пусть матрица А линейного преобразования j в базисе е– диагональная. Тогда j(ек) = lкек для любого к = 1, 2, … , n. Но это значит, что все базисные векторы – собственные..
Ü Пусть все базисные векторы – собственные. Тогда j(ек) = lкек. Следовательно, в к-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и акк = lк. Отсюда и следует, что матрица преобразования – диагональная.
Следствие. Квадратная матрица n-го порядка подобна диагональной тогда и только тогда, когда для соответствующего этой матрице линейного преобразования существует базис из собственных векторов.
Определение 42. Говорят, что линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет простой спектр, если все его характеристические корни различны и принадлежат полю Р.
Теорема 40. Если линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет простой спектр, то в Ln существует такой базис, в котором это преобразование имеет диагональную матрицу.
Теорема 41. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля Р . Если все характеристические корни матрицы А различны и принадлежат полю Р, то эта матрица подобна диагональной.