Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства и для любых двух пар соответствующих векторов а, а1 и в, в1 выполняется равенство (а, в) = (а1, в1).
Теорема 47. Два конечномерных евклидова пространства Е и Е1 изоморфны тогда и только тогда, когда dim E = dim E 1.
Доказательство. Þ Пусть Е и Е1 изоморфны. Тогда они изоморфны и как линейные пространства. Из свойств изоморфизма линейных пространств следует, что dim E = dim E 1.
Ü Пусть dim E = dim E 1 = n. Выберем в пространствах Е и Е1 ортонормированные базисы е = (е1, е2,... , еn) и е1 = (е11, е21,... , еn1) соответственно. Зададим отображение j: Е® Е1 по следующему правилу. Если а Î Е и а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn, то пусть j(а) = х1е11 + х2е21+ … + хnеn1. Это отображение является, очевидно, изоморфизмом между линейными пространствами Е и Е1. Покажем, что при этом отображении сохраняется скалярное произведение векторов. Пусть в Î Е и в = у1е1+ у2е2 + … + уnеn . Тогда j (в) =у1е11+ у2е21+ … + уnеn1. Так как базис е ортонормированный, то (а,в)= х1у1 + х2у2 +…+ хnуn. Так как базис е1 ортонормированный, то (j(а), j(в)) = х1у1 + х2у2 + … + хnуn. Следовательно, (а,в) = (j(а), j(в)). Итак, j - изоморфизм между Е и Е1.
Следствие. Если на конечномерном линейном пространстве различными способами задавать скалярные произведения, то все получающиеся при этом евклидовы пространства будут изоморфными.