Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р .
Определение 59. Отображение f : (Ln ´ Ln ) ® Р называется билинейной формой (или билинейной функцией), заданной на Ln , если для любых векторов а, в, с и любого элемента aÎ Р выполняются условия:
f (а + в, с) = f (а, с) + f (в, с) ; f (а, в + с ) = f (а, в) + f (а, с); f (a×а) = a×f(а).
(Иными словами, билинейная форма линейна по обоим переменным.)
Пусть в Ln зафиксирован базис е = (е1, е2,... , еn), а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn,
в = у1е1 + у2е2 + … + уnеn, f (ек , ер) = aкр . Тогда из определения 58 следует
f (а, в) = f () = = , где aкр – элементы поля Р.
Итак, f (а, в) = (55) – запись билинейной формы в координатах.
Матрица А = | называется матрицей данной билинейной формы. Если х и у – столбцы координат векторов а и в, то билинейную форму можно записать в матричном виде: f (а, в) = хТ× А × у (56) |
Если е1 = (е11, е21,... , еn1) – другой базис в Ln и Т – матрица перехода от базиса е к базису е1, то столбцы координат векторов а и в в этих базисах связаны формулами х = Т×х1, у =Т×у1. Подставив в формулу (56), получим f (а, в) = (Тх1)Т× А × (Ту1) = (х1)Т×(ТТ×А×Т)×у1. Следовательно, матрицы билинейной формы в разных базисах связаны формулой
А1 = ТТ×А×Т (57)
Определение 60. Билинейная форма называется симметрической, если
f (а, в) = f ( в, а) для любых векторов а и в. (57)
Очевидно, верно следующее утверждение:
Теорема 62. Билинейная форма является симметрической тогда и только тогда, когда она в любом базисе имеет симметрическую матрицу.
Теорема 63. В любом базисе евклидова пространства Еn скалярное произведение векторов задаётся симметрической билинейной формой.
Доказательство. По формуле (42) скалярное произведение векторов а и в равно
(а, в)= х Т×Г×у. Матрица Г – симметрическая, поэтому, согласно формуле (56), скалярное произведение задано симметрической билинейной формой.