Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С, элементы которой получаются следующим образом: каждый элемент р-ой строки матрицы А умножается на соответствующий элемент q-го столбца матрицы В, полученные произведения складываются и результат ставится в пересечение р-ой строки и q-го столбца матрицы С, т.е. срq = (11).
Размерность матрицы С равна m´ к.
Пример 1.
= .
Пример 2. Произведение матриц не определено.
Но даже если А×В и В×А определены, то они не обязаны быть равны.
Пример 3. А×В = ,
А×В = .
В этом примере А×В и В×А определены, но А×В ¹ В×А . Следовательно, для умножения матриц коммутативный закон не имеет места. Можно проверить:
10. Если (А×В)×С и А×(В×С) определены, то (А×В)×С = А×(В×С).
20. Если (А + В)×С определено, то (А + В)×С = А×С + В×С.
30. Если А×В определено, то (lА)×В =l×(А×В).
3.4. Умножение квадратных матриц одного порядка.
Произведение любых двух квадратных матриц одного порядка всегда определено. При умножении двух квадратных матриц n-го порядка получится матрица того же порядка.
Теорема 7. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей сомножителей.
Доказательство. Пусть А = , В = . Составим
С = | матрицу С и вычислим её определитель двумя способами. Сначала используем теорему Лапласа, разложив его по первым n строкам. Получим |С| = |А|×|В|. Для вычисления вторым способом преобразуем матрицу С, используя те преобразования, которые не меняют определитель. К (n +1)-му столбцу матрицы С прибавим 1-ый столбец, умноженный на , 2-ой столбец, умноженный на , … , n-ый столбец, умноженный на . |
Тогда в (n +1)-м столбце на первых n местах будут стоять элементы первого столбца матрицы А×В, а на остальных местах – нули.
С1 = | Продолжая аналогичные преобразования с (n +2)-м и т.д. столбцами, получим матрицу С1. Здесь скр – элементы произведения А×В. Очевидно, |С1| = |С|. Определитель матрицы С1 вычислим, разлагая его (по теореме Лапласа) по последним n строкам. Получим |С| = (-1)n×(-1)к×|А×В|, где к = 1 + 2 + …+ n + + (n + 1) + … + 2n = (2n + 1 )×n. Так как (2n + 1 )×n + + n = 2(n + 1 ), то |С| = |АВ |. Итак, |АВ | = |А|×|В| (12). |
Если |А| ¹ 0, то матрица А называется невырожденной, если же |А| = 0, то матрица А вырожденная. Из теоремы 7 следует, что произведение двух невырожденных квадратных матриц одного порядка есть невырожденная матрица того же порядка, если же одна из матриц вырожденная, то их произведение – тоже вырожденная матрица.
Квадратная матрица Е = называется единичной матрицей. Легко проверить, что Е×А = А×Е для любой квадратной матрицы А, имеющей тот же порядок, что и Е. Очевидно, |Е| = 1.
Определение 11. Матрица В называется правойобратной для матрицы А, если В×А= Е и левой обратной для А, если А×В = Е.
Возникает вопрос, всякая ли квадратная матрица имеет левую или правую обратную матрицу. Если В – левая или правая обратная матрица, то (по теореме 7) |В|×|А| = |А|×|В| = 1, т.е. матрица А не может быть вырожденной.
Пусть А квадратная невырожденная матрица, найдём алгебраические дополнения для всех её элементов. Составим новую матрицу А* следующим образом: алгебраические дополнения элементов к-ой строки матрицы А поставим в к-ый столбец матрицы А*, т.е. А* = . Матрица А* называется присоединённой для матрицы А. По правилу умножения матриц и свойствам определителя получаем, что
А×А*= А*×А = = |А|×Е.
Так как |А| ¹ 0, то матрица В = существует и А×В = В×А = Е, т.е. матрица В является и левой и правой обратной матрицей для матрицы А. Эта матрица называется обратной матрицей для А и обозначается А-1. Итак, получили
Теорема 8. Для всякой квадратной невырожденной матрицы существует обратная матрица. Обратная матрица перестановочна с данной матрицей и вычисляется по формуле
А-1= (13)
Пример 4. Найдите обратную матрицу, если А = .
Решение. Найдём |А| = 10 + 12 + 0 – 0 + 4 + 12 = 36.
Составим присоединённую матрицу, для этого вычислим алгебраические дополнения. А11 = = 14, А12 = = - 6, А13 = = 3, А21 == 8, А22 = = 2, А23 = = -1, А31 = = 28, А32 = = 16, А33 = = 11. Используя теорему 8, получим А-1 = .