Преобразование системы координат.

Тема: ПОВОРОТ ОСЕЙ КООРДИНАТ

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система О₁х₁у₁ получена поворотом системы Оху на угол α (см. рис. 6).

Пусть М — произвольная точка плоскости, (х; у) — ее координаты старой системе и (х';у') — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Ох₁ (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + φ и φ , где φ — полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Но r *cos φ = х' и r * sin φ = у'. Поэтому

Полученные формулы называются формулами поворота осей.Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки М через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

Рис. 7

Если новая система координат О₁х₁у₁ получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 7), то путем введения вспомогательной системы О₁х₁у₁ легко получить формулы, выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х' и у'.

Тема: ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ (ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ)

Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называютсятекущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(х_о, у_о) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F₁(x;y) = 0 и F₂(x;y) = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F(r; φ) =0 называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

(1)

где x и у — координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если х = t + 1, у = t², то значению параметра t = 2 соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х= 2 + 1 = 3, у = 2² = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (1) — параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F(x;y) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений

путем подстановки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = х²; или у — х² = 0, т. е. вида F(x; у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегдацелесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением r = r (t), где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению t_oсоответствует определенный вектор r₀ = r (t₀), плоскости. При изменении параметра t конец вектора r = r (t) опишет некоторую линию (см. рис. 8).

Векторному уравнению линии r = r (t) всистеме координат Оху соответствуют два скалярных уравнения (1), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения. рис. 8

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x;y) = 0.

Всякому уравнению вида F(x;y) = 0 соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением

(выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения.

Так, уравнению (х - 2)² + {у - З)² = 0 соответствует не линия, а точка (2; 3); уравнению х² + у² + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 9-17 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

Рис. 9. Окружность радиуса R