Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.
Тема: СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1. при круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей меняется знак на обратный:
abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых
3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство, относительно скалярного множителя). Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения
4. смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя равны нулю, aab=0
Пример 1. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc
Пример 2.
(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+ac+bb+bc)(c+a)=(ab+ac+bc)(c+a)=abc+aca+aca+aba+bcc+bca
Все члены, кроме двух крайних равно нулю. Кроме того bca=abc, поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc
Тема: ВЫРАЖЕНИЕ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ