Аналогично определяется разность матриц.
Произведением матрицы типа m×n на действительное число ∝ называют матрицу типа m×n с элементами . Обозначение .
Пример:
.
Для множества всех матриц, элементами которых являются действительные числа, верны следующие свойства линейных операций:
1. Сложение матриц коммутативно (коммутативность – переместительность):
A+B=B+A.
2. Сложение матриц ассоциативно:
(A+B) + C=A+ (B+C).
3. Если А – матрица типа m×n и О – нулевая матрица типа m×n , то А+О=А.
4. Для любой матрицы А типа m×n существует такая единственная матрица В типа m×n , для которой А+В=О – нулевая матрица.
Матрицу В называют противоположной матрицей и обозначают –А. Она получается из матрицы А умножением на число -1, т.е. .
5. Умножение матрицы на число ассоциативно:
.
6. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы действительных чисел (дистрибутивность – распределительность)
.
7. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы матриц:
.
8. Умножение матрицы на 1 не меняет ее:
.
Свойства линейных операций:
1. А+В=В+А.
2. А+(В+С)=(А+В)+С.
3. А+О=А.
4. А - А= О ( матрица называется противоположной
матрицей).
5. .
6.
7. .
8.