Элементарные преобразования играют большую роль в теории матриц и широко используются в вычислениях.
Напомним, что рядом матрицы называется ее строка или столбец.
Элементарными преобразованиями матриц (типами элементарных преобразований) являются:
1-й тип. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы ( двух строк или двух столбцов)
,
которую можно записать в виде (i) (k)
2-й тип. Умножение всех элементов ряда матрицы (строки или столбца) на число, отличное от нуля,
,
которое можно записывать в виде (i) λ(i).
3-й тип. Добавление (прибавление) ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число,
,
которое можно записать в виде (i) (i)+λ(k).
Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А~В.
Отношение эквивалентности матриц обладает следующими свойствами.
1. А~А (рефлексивность).
2. А~В=>В~А (симметричность).
3. А~В, В~С=>А~С (транзитивность).
Теорема. С помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической (или упрощенной), например:
.
При этом число единиц на ее главной диагонали будет равно r.
Теорема.Любая матрица Аm×n может быть приведена элементарными преобразованиями к единственной канонической матрице, которая называется канонической формой матрицы А и обозначается как К(А). Число единиц на ее диагонали равно рангуматрицы.
Любую невырожденную квадратную матрицу порядка n можно элементарными преобразованиями ее строк привести к единичной матрице.
Для любых матриц из области действительных чисел справедливо
1. А~В=>К(А)=К(В).
2. А~В=>rang А= rang В.
Понятия ранга матрицы, вырожденнойи невырожденной матрицы будут рассмотрены ниже.
Каждое элементарное преобразование строк или столбцов матрицы имеет обратное элементарное преобразование, которое преобразованную матрицу превращает в исходную.
Каждое элементарное преобразование строк матрицы А размеров m×n можно трактовать как умножение А слева на некоторую квадратную матрицу специального вида порядка m.
Каждое элементарное преобразование столбцов матрицы А размеров m×n можно трактовать как умножение А справа на некоторую квадратную матрицу специального вида порядка n. При этом матрица специального вида не зависит от матрицы А, а полностью определяется преобразованиями, которое она осуществляет.
Матрицы, умножение на которые осуществляют элементарные преобразования, называются элементарными матрицами.
Последовательное выполнение нескольких элементарных преобразований строк осуществляется умножением слева на произведение соответствующих элементарных матриц, причем множитель, который соответствует преобразованию, сделанному позже, стоит левее.
Последовательное выполнение нескольких элементарных преобразований столбцов осуществляется умножением справа на произведение соответствующих элементарных матриц, причем множитель, который соответствует преобразованию, сделанному позже, стоит правее.
Все элементарные матрицы для элементарных преобразований строк матрицы А типа m×n получаются из единичной матрицы Е порядка m с помощью элементарных преобразований ее строк.
Все элементарные матрицы для элементарных преобразований столбцов матрицы А типа m×n получаются из единичной матрицы Е порядка n с помощью элементарных преобразований ее столбцов.
Матрицами элементарных преобразований (элементарными матрицами) называют матрицы следующих трех типов.
1-й тип. Матрицы, получающиеся из единичной матрицы перестановкой любых двух строк.
Например, матрица
получена из единичной матрицы перестановкой i-й и j-й строк. В приведенном примере i=3, j=5.
В этой матрице все диагональные элементы равны единице, за исключением Остальные (внедиагональные) элементы равны нулю, за исключением
2-й тип. Матрицы, получающиеся из единичной матрицы, заменой диагональных элементов на произвольное, не равное нулю, число.
Пример:
.
В этой матрице все диагональные элементы равны единице, за исключением аii=λ. В приведенном примере i=4.
3-й тип. Матрицы, отличающиеся от единичной матрицы лишь одним внедиагональным элементом.
Например, матрица
| i |
| j |
отличается от единичной лишь элементом λ в позиции (j,i), те i-я строка прибавляется к j-й с коэффициентом λ. В приведенном примере i=3, j=5.
| j |
| i |
отличается от единичной тоже элементом λ, но в позиции (i,j), т.е. i-й столбец прибавлен к j-му с коэффициентом λ. В приведенном примере i=2, j=5.
Элементарные преобразования произвольной матрицы равносильны умножению этой матрицы на матрицы элементарных преобразований.
I. Элементарные преобразования строк матрицы А.
1. Умножение матрицы А на матрицу Pij слева переставляет строки с номерами i и j.
2. Умножение матрицы А на матрицу Dj(λ) слева равносильно умножению j-й строки матрицы А на число λ.
3. Умножение матрицы А на матрицу Lij(λ) слева равносильно прибавлению к j-й строке матрицы А ее i-й строки, умноженной на λ.
Отметим , что если матрица А типа m×n, то все элементарные матрицы для преобразования строк должны иметь порядок m.
II. Элементарные преобразования столбцов.
1. Умножение матрицы А на матрицу Pij справа переставляет столбцы с номерами i и j матрицы А.
2. Умножение матрицы А на матрицу Dj(λ) справа равносильно умножению j-го столбца матрицы А на число λ.
3. Умножение матрицы А на матрицу Rij(λ) справа равносильно прибавлению к j-му столбцу матрицы А ее i-го столбца, умноженного на λ.
Отметим, что если матрица А имеет тип (размер) m×n, то все элементарные матрицы для преобразования столбцов должны иметь тип (размер) n×n.