Квадратная матрица называется вырожденной, если строки линейно зависимы. Вырожденной будет, например, матрица, имеющая две одинаковые строки. Примером невырожденной матрицы является единичная матрица.
Положение 1.Элементарные преобразования строк переводят линейно зависимые строки в линейно зависимые, а линейно независимые строки в линейно независимые. Элементарные преобразования столбцов переводят линейно зависимые столбцы в линейно зависимые, а линейно независимые в линейно независимые.
Следствие. Элементарные преобразования строк переводят невырожденную матрицу в невырожденную, а вырожденную матрицу – в вырожденную.
Положение 2. Элементарные преобразования строк сохраняют линейные зависимости между столбцами. Элементарные преобразования столбцов сохраняют линейные зависимости между строками.
Положение 3.Каждая невырожденная матрица с помощью элементарных преобразований строк может быть превращена в единичную матрицу. Заметим, что единичная матрица – это канонический вид невырожденной матрицы. Если А – невырожденная матрица, то последовательность элементарных преобразований, приводящих ее к единичной матрице можно формально записать следующим образом: ТМ×…×Т2×Т1×А=Е, где Т1…ТМ - элементарные матрицы.
При доказательстве этого положения применяется метод элементарных преобразований, называемый методом Гаусса, точнее, методом Гаусса - Жордана, с выбором ведущего элемента по строке, содержание которого будет изложено ниже.
Различные варианты метода Гаусса широко используются в вычислительной практике.
Положение 4.Матрица невырождена тогда и только тогда, когда она раскладывается в произведение элементарных матриц. То есть, для невырожденной матрицы А
S1×S2×S3×…×SN=A, где S1… SN – элементарные матрицы.
Положение 5. Столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда матрица невырождена.
Следствие. Матрица А невырождена тогда и только тогда, когда невырождена ее транспонированная матрица АТ.
Положение 6. Пусть А – невырожденная матрица порядка n. Тогда любой столбец высоты n раскладывается по столбцам А, причем коэффициенты разложения однозначно определены.
Положение 7. Пусть А – невырожденная матрица порядка n. Тогда любая строка длины n раскладывается по строкам А, причем коэффициенты разложения однозначно определены.