Строки (столбцы) линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна (один ) из них являются линейными комбинациями остальных.
Следствия.
Пусть строки (столбцы) линейно независимы, а хотя бы одна из строк (столбцов) является их линейной комбинацией. Тогда все строки (столбцы) , линейно зависимы.
Столбцы
,
в которых на i – том месте стоит единица, а остальные элементы равны нулю
являются линейно независимыми. Действительно, равенство
можно записать подробнее так
Отсюда видно, что равенство выполнимо, если
Следствия: произвольный столбец высотой n может быть разложен по столбцам .
Действительно, в качестве коэффициентов линейной комбинации нужно взять элементы раскладываемого столбца.
Столбцы ( строки) единичной матрицы линейно независимы и обладают тем свойством, что каждый столбец (строка) с тем же числом элементов раскладывается по ним.
В данном случае столбцы . Аналогичны и строки.