Две системы называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй и наоборот.
Над системами можно производить следующие линейные преобразования:
1) менять уравнения местами;
2) умножать обе части уравнения на любое не равное нулю число;
3) прибавлять к обеим частям одного из уравнений системы соответствующие части другого уравнения, умноженное на любое действительное число.
4.1. Метод Крамера и матричный способ решения системы линейных уравнений с неизвестными
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными
(24')
Назовем
(25)
матричным уравнением системы (24')
или , (25')
где .
Покажем, как найти решение системы (25').
Каждую часть равенства (25') умножим слева на обратную матрицу :
(26)
– решение системы (25').
Запишем (26) в развернутом виде:
Таким образом, из определения равенства матриц следует:
или (27)
– формулы Крамера.