Реферат Курсовая Конспект
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА - раздел Математика, Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение Выс...
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н.А. Гарифуллина
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методическое пособие
У ф а
РИЦ БашГУ
Уфа 2012
УДК 512
ББК 22.14
Печатается по решению кафедры Информационной безопасности ИУБП при Башкирском государственном университете. Протокол № 4 от 13.11.2012 г.
Цели и задачи курса
Линейная алгебра составляет начальный раздел общего курса математики в вузе. Целью данного раздела является ознакомление с такими фундаментальными математическими понятиями, как матрица, ранг матрицы, обратная матрица, определители, решение системы линейных уравнений, метод Гаусса. Задачей курса является приобретение знаний по основным математическим понятиям и навыков по решению различных задач данного раздела.
Матрицы. Основные понятия и определения. Действия над матрицами
Многие задачи математики (и не только математики) приводят к рассмотрению специальных таблиц (в общем случае прямоугольных), составленных из чисел
,
В этой таблице 3 строки и 4 столбца, ее полезно представить схематично.
Пример 1.1.
Матрицы, составленные из чисел, возникают при рассмотрении систем линейных уравнений
(2)
Пример 1.2.
Рассмотрим систему . (*)
Системе линейных алгебраических уравнений (*) соответствуют две матрицы:
А называется матрицей коэффициентов системы (*), В – её расширенной матрицей. Ясно, что система (*) вполне определяется заданием матрицы В.
Определение 1.2.
Частным случаем – матрицы являются и такие матрицы, как , это так называемая матрица-строка.
Определение 1.3.
Матрица вида называется матрица-столбец.
Определение 1.4.
Матрица, полученная из матрицы заменой строк на столбцы, называется транспонированной матрицей и обозначается .
. (3)
Пример 1.3.
Например, если
,
то а11 = 1, a12 = 0, a13 = 2, a14 = -1; a21 = 3, a22 = -4, a23 = 1, a24 = -5.
Определение 1.6.
Матрица называется нулевой или нуль-матрицей, если все элементы матрицы равны нулю.
Определение 1.8.
Квадратная матрица называется единичной, если элементы главной диагонали равны единице, а остальные элементы равны нулю.
Определение 1.9.
Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю (хотя часть из диагональных элементов могут быть нулями).
Определение 1.10.
Выделим из множества квадратных матриц так называемые треугольные матрицы:
- верхнетреугольная,
- нижнетреугольная.
Пример 1.4.
Сложить матрицы и .
Решение.
Пример 1.5.Сложить матрицы и , где
.
Решение.
Свойства операции сложения
1. – сочетательное свойство сложения матриц (ассоциативность);
2. – переместительное свойство сложения матриц (коммутативность);
3. , где - нуль матрица.
4. , где - нуль матрица.
5.– распределительное свойство умножения матрицы на число относительно суммы чисел (дистрибутивность);
6. – дистрибутивность умножения матрицы на число относительно суммы матриц;
Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: .
Пример 1.6.Найти разность матриц
Решение.
или
=
2. Умножение матрицы на число
Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой для .
Матрицу умножаем на число, это значит, каждый элемент матрицы умножаем на данное число:
(5)
Пример 1.7.
Умножить матрицу на число 5.
Решение.
Пример 1.8.
Общий множитель можно выносить за скобку:
или .
3. Умножение матриц
Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец
(количество столбцов в матрице-строке должно быть равно количеству строк в матрице-столбце)
(6)
Пример 1.9.
Умножить матрицу на матрицу .
Решение.
Пример 1.11.
Умножить матрицу на матрицу .
Решение.
Пример 1.12. Умножить матрицы и , где
Решение.
Умножение матрицы-столбца на матрицу-строку
(8)
Пример 1.13.
Умножить матрицу на матрицу .
Решение.
Свойства операции умножения
1. – сочетательное свойство умножения матриц (ассоциативность);
2. ;
3. ;
4. ;
5. , - единичная матрица;
6.
7.
8. – наличие обратного элемента.
4. Возведение в степень
Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.
. (9)
5. Транспонирование матриц
Матрица при транспонировании переходит в матрицу , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Например,
, .
Свойства транспонирования матриц:
1.
2.
3.
4.
Определение 2.1.
Определителем матрицы первого порядка, называется сам элемент :
.
Определение 2.2.
Определителем матрицы второго порядка, называется число
.
Пример 2.2.
Вычислить определитель .
Решение.
Определитель третьего порядка может быть преобразован следующим образом:
Пример 2.3.
Вычислить определитель .
Решение.
Обратная матрица. Ранг матрицы
Определение 3.1.
Квадратная матрица называется обратной по отношению к матрице , если выполняется равенство
, (22)
где – единичная матрица.
Определение 3.2.
Квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной, если . Если , то матрица называется вырожденной (особенной).
Теорема 3.1.
Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу, определяемую формулой
(23)
Определение 15.
Определитель с элементами, стоящими на пересечении произвольных строк, и столбцов матрицы, называется минором -го порядка этой матрицы.
Замечание. Не путать с минором элемента!
Определение 3.3.
Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.
Обозначение: .
Определение 3.4.
Каждый отличный от нуля минор, порядок которого совпадает с рангом матрицы, называется базисным минором.
Определение 3.6.
Матрица, у которой в каждой следующей строке, начиная со второй, первый отличный от нуля элемент стоит правее первого отличного от нуля элемента предыдущей строки, а все нулевые строки (состоящие только из нулей) стоят ниже ненулевых строк (строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент), называется ступенчатой.
Например: .
Пример 3.1.
Определить ранг матрицы
.
Решение.
Базисным минором, к примеру, является минор:
Задачи для самостоятельной работы
Вычислить ранг матриц
1. 2.
3.
Система линейных алгебраических уравнений
Определение 4.2.
1). Множество всех значений , подстановка которых в систему уравнений (24) каждое уравнение обращает в тождество, называется решением данной системы.
2). Если все свободные члены системы равны нулю, то есть , то система называется однородной.
Определение 4.3.
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, если решение только одно, то система называется определенной, если решений множество, то система называется неопределенной. Если решений нет, то система несовместная.
Пример 4.1.
Решить систему линейных алгебраических уравнений
1) методом Крамера, 2) матричным способом.
Решение.
1) Метод Крамера
Следовательно, система имеет решение.
2) Матричный способ
Найдем обратную матрицу А-1:
1 шаг:
Следовательно, матрица имеет обратную.
2 шаг:
ищем алгебраические дополнения
элементов матрицы .
Составим матрицу из алгебраических дополнений
3 шаг: транспонируем матрицу
4 шаг:
Получаем ответ:
4.2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений с неизвестными (метод последовательного исключения переменных)
На практике чаще всего применяется метод Гаусса – метод построения решения систем линейных уравнений.
Метод Гаусса состоит в следующем:
1) расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями приводят к ступенчатому виду;
2) сравнивают ранги основной и расширенной матриц и делают вывод о совместности или несовместности системы;
3) в случае совместности системы в основной матрице выбирают базисный минор и дальнейшими элементарными преобразованиями строк добиваются того, чтобы в этом миноре все элементы вне главной диагонали стали равными нулю, а элементы главной диагонали стали равными единице;
4) выписывают систему, соответствующую полученной расширенной матрице, после чего переписывают систему, оставляя базисные неизвестные слева и переведя остальные слагаемые в правую часть;
5) если , то в правой части стоят только свободные члены и получено единственное решение;
6) если , то в правой части есть свободные неизвестные. Придавая им произвольные значения, получаем общее решение системы.
Пример 4.2.Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:
Решение.
~~
~~
Таким образом,
– общее решение или (, , , ).
Пример 4.3.Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:
Решение.
Составляем расширенную матрицу , преобразуем ее так, чтобы вместо матрицы получить единичную, тогда вместо матрицы получим ответ.
~ 2ая строка +1ая, умноженная на (-2); 3ая строка +1ая, умноженная на (-3) ~~ меняем местами 2ую и 3ю строки ~~ 2ую строку умножим на (-1) ~ ~ 3я строка +2ая, умноженная на 4 ~~ 3ю строку делим на (-37) ~ ~ 2ая строка +3я, умноженная на 10; 1ая строка +3я, умноженная на 3 ~ ~ из 1ой строки вычитаем 2ую ~ .
Получаем ответ .
Теорема 4.1. (Кронекера-Капелли)Система линейных уравнений совместна, тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы, т.е.
.
Для совместных систем справедливы следующие следствия.
Следствие 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных , то система (24) имеет единственное решение.
Следствие 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных , то система (24) имеет бесконечное множество решений.
Пусть , переменных называются базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные называются свободными.
Решение системы (24), в котором все свободных переменных равны нулю, называется базисным.
Литература
Основная
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Часть 1. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 2008.
2. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. Письменный Д.Т. (2009, 9-е изд., 608с.)
3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов.
– Конец работы –
Используемые теги: ная, Алгебра0.05
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов