Реферат Курсовая Конспект
Метод Гаусса - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Для Описания Этого Метода, Который Годится Для Решения Произвольных Систем Ли...
|
Для описания этого метода, который годится для решения произвольных систем линейных уравнений, необходимы некоторые новые понятия.
Определение 6.7. Уравнение вида 0×x1 + 0×x2 + ... + 0×xn = 0 называется нулевым.
Решением такого уравнения является любой вектор.
Определение 6.8. Уравнение вида 0×x1 + 0×x2 + ... + 0×xn = b , где b ≠ 0, называется несовместным (или противоречивым).
У несовместного уравнения решений нет.
Определение 6.9. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие ее преобразования:
1. умножение любого уравнения на число, не равное нулю;
2. прибавление к одному уравнению системы любого другого, умноженного на произвольное число;
3. вычеркивание нулевого уравнения.
Замечание 6.1. С помощью преобразований 1 и 2 уравнения системы можно поменять местами.
Теорема 6.2. Цепочка элементарных преобразований переводит исходную систему линейных уравнений в равносильную ей систему.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Костромской государственный университет имени Н А Некрасова...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Гаусса
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
ББК 22.174я73-5
М350
Печатается по решению редакционно-издательского совета
КГУ им. Н. А. Некрасова
Рецензент
А. В. Чередников
ББК 22.174я73-5
ã Т. Н. Матыцина, Е. К. Коржевина 2013
ã КГУ им. Н. А. Некрасова, 2013
Объединение (или сумма).
Определение 1.9.Объединением множеств А и В называется множество A È B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя
Пересечение (или произведение).
Определение 1.10. Пересечением множеств А и В называется множество A Ç B, которое состоит из тех и только тех элементов, принадлежащих одн
Разность.
Определение 1.11.Разностью множеств А и В называется множество А В, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А
Декартовое произведение (или прямое произведение).
Определение 1.14. Упорядоченной парой (или парой) (a, b) называется два элемента a, b взятые в определенном порядке. Пары (a1
Свойства операций над множествами
Свойства операций объединения, пересечения и дополнения иногда называют законами алгебры множеств. Перечислим основные свойства операций над множествами. Пусть задано универсальное множество U
Метод математической индукции
Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, в формулировке которых участвует натуральный параметр n. Метод математической индукции – метод доказательства матем
Комплексные числа
Понятие числа является одним из основных завоеваний человеческой культуры. Сначала появились натуральные числа N = {1, 2, 3, …, n, …} затем целые Z = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}, рациональные Q
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался как значение направленной величины (
Тригонометрическая форма комплексного числа
Вектор можно задать не только координатами в прямоугольной системе координат, но и длиной и
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Сложение и вычитание удобнее производить над комплексными числами в алгебраической форме, а умножение и деление – в тригонометрической форме.
1. Умножений.Пусть даны два к
Возведение в степень.
Если z = r(cosj + i×sinj), то zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), где n Î
Показательная форма комплексного числа
Из математического анализа известно, что e = , e – иррациональное число. Эйле
Понятие отношения
Определение 2.1. n-арным (или n-местным) отношениемP на множествах A1, A2, …, An называется любое подмнож
Свойства бинарных отношений
Пусть бинарное отношение Р задано на непустом множестве А, т. е. Р Í А2.
Определение 2.9.Бинарное отношение P на множе
Отношение эквивалентности
Определение 2.15. Бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Отношение эквивал
Функции
Определение 2.20.Бинарное отношение ƒ Í A ´ B называется функцией из множества A в множество B, если для любого x
Общие понятия
Определение 3.1. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа m и n называют порядком (или
Сложение однотипных матриц
Складывать можно только однотипные матрицы.
Определение 3.12. Суммой двух матриц А = (aij) и B = (bij), где i = 1,
Свойства сложения матриц
1) коммутативность: " А, В : А + В = В + А;
2) ассоциативность: " А, В, С : (А + В) + С = А
Умножение матрицы на число
Определение 3.13. Произведением матрицы А = (aij) на действительной число k называется матрица С = (сij), для которой с
Свойства умножения матрицы на число
1) " А : 1×А = А;
2) " α, β Î R, " А : (αβ)×А = α×(β×А) = β×
Умножение матриц
Определим умножение двух матриц; для этого необходимо ввести некоторые дополнительные понятия.
Определение 3.14. Матрицы А и В называются согласованными
Свойства умножения матриц
1) Умножение матриц не коммутативно: A×B ≠ B×A.
Продемонстрировать данное свойство можно на примерах.
Пример 3.6. а)
Транспонирование матриц
Определение 3.16. Матрица Аt, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной матрице А
Определители матриц второго и третьего порядка
Каждой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем этой матрицы. Обозначение: D, |A|, det A,
Определение 4.6.
1. При n = 1 матрица А состоит из одного числа: |A| = а11.
2. Пусть для матрицы порядка (n – 1) определитель известен.
3. Определи
Свойства определителей
Для того чтобы вычислять определители порядков, больших, чем 3, используют свойства определителей и теорему Лапласа.
Теорема 4.1 (Лапласа). Определитель квадратной матрицы
Практическое вычисление определителей
Один из способов вычисления определителей порядка выше трех – разложение его по какому-либо столбцу или строке.
Пример 4.4.Вычислить определитель D =
Понятие ранга матрицы
Пусть А – матрица размерности m ´ n. Выберем в этой матрице произвольно k строк и k столбцов, где 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров
Один из методов методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров. Этот способ основан на определении ранга матрицы. Суть метода в следующем. Если есть хотя бы один элемент ма
Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.
Определение 5.4. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
1. умноже
Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения
Пусть дана квадратная матрица А.
Определение 5.7. Матрица А–1 называется обратной для матрицы А, если А×А–1
Алгоритм нахождения обратной матрицы
Рассмотрим один из способов нахождения обратной матрицы к данной с помощью алгебраических дополнений. Пусть дана квадратная матрица А.
1. Находим определитель матрицы |A|. Ес
Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
Рассмотрим еще способ нахождения обратной матицы с помощью элементарных преобразований. Сформулируем необходимые понятия и теоремы.
Определение 5.11.Матрица В назыв
Метод Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, то есть m = n и система имеет вид:
Метод обратной матрицы
Метод обратной матрицы применим для систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю.
Матричная форма записи систе
Описание метода Гаусса
Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований исходная система приводится к равносильной ей системе ступенчатого или т
Исследование системы линейных уравнений
Исследовать систему линейных уравнений – это значит, не решая систему, ответить на вопрос: совместна система или нет, а если совместна, то, сколько у нее решений. Ответить на этот в
Однородные системы линейных уравнений
Определение 6.11.Система линейных уравнений называется однородной, если ее свободные члены равны нулю.
Однородная система m линейных уравнени
Свойства решений однородной системы линейных уравнений
1. Если вектор а = (a1, a2, …, an) является решением однородной системы, то вектор k×а = (k×a1, k&t
Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений
Пусть М0 – множество решений однородной системы (4) линейных уравнений.
Определение 6.12.Векторы с1, с2, …, с
Линейная зависимость и независимость системы векторов
Пусть а1, а2, …, аm множество из m штук n-мерных векторов, о котором принято говорить – система векторов, и k1
Свойства линейной зависимости системы векторов
1) Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
2) Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима.
Следствие. Если си
Единичная система векторов
Определение 7.13. Системой единичных векторов пространства Rn называется система векторов e1, e2, …, en
Две теоремы о линейной зависимости
Теорема 7.1. Если большая система векторов линейно выражается через меньшую, то большая система линейно зависима.
Сформулируем эту теорему подробнее: пусть а1
Базис и ранг системы векторов
Пусть S – система векторов пространства Rn; она может быть как конечной, так и бесконечной. S' – подсистема системы S, S' Ì S. Дадим два
Ранг системы векторов
Дадим два равносильных определения ранга системы векторов.
Определение 7.16. Рангом системы векторов называется количество векторов в любом базисе этой системы.
Практическое нахождение ранга и базиса системы векторов
Из данной системы векторов составляем матрицу, расположив векторы как строки этой матрицы. Приводим матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками этой матрицы. При
Определение векторного пространства над произвольным полем.
Пусть P – произвольное поле. Известные нам примеры полей – поле рациональных, действительных, комплексных чисел.
Определение 8.1. Множество V называется в
Простейшие свойства векторных пространств
1) о – нулевой вектор (элемент), определен единственным образом в произвольном векторном пространстве над полем.
2) Для любого вектора a Î V существует единствен
Подпространства. Линейные многообразия
Пусть V – векторное пространство, L Ì V (L подмножество V).
Определение 8.2. Подмножество L векторного про
Пересечение и сумма подпространств
Пусть V – векторное пространство над полем P, L1 и L2 – его подпространства.
Определение 8.3. Пересечением подпрос
Линейные многообразия
Пусть V – векторное пространство, L – подпространство, a – произвольный вектор из пространства V.
Определение 8.6.Линейным многообразием
Конечномерные векторные пространства
Определение 8.7.Векторное пространство V называется n-мерным, если в нем существует линейно независимая система векторов, состоящая из n векторов, и при
Базис конечномерного векторного пространства
V – конечномерное векторное пространство над полем P, S – система векторов (конечная или бесконечная).
Определение 8.10. Базисом системы S
Базисы и размерности подпространств
1. Пусть подпространство L = L(а1, а2, …, аm) , то есть L – линейная оболочка системы а1
Координаты вектора относительно данного базиса
Рассмотрим конечномерное векторное пространство V размерности n, векторы e1, e2, …, en образуют его базис. Пусть a – произ
Координаты вектора в различных базисах
Пусть V – n-мерное векторное пространство, в котором заданы два базиса: e1, e2, …, en – старый базис, e'1, e
Евклидовы векторные пространства
Дано векторное пространство V над полем действительных чисел. Это пространство может быть как конечномерным векторным пространством размерности n, так и бесконечномерн
Скалярное произведение в координатах
В евклидовом векторном пространстве V размерности n задан базис e1, e2, …, en. Векторы x и y разложены по векторам
Метрические понятия
В евклидовых векторных пространствах от введенного скалярного произведения можно перейти к понятиям нормы вектора и угла между векторами.
Определение 8.16. Нормой (
Свойства нормы
1) ||a|| = 0 Û a = о.
2) ||la|| = |l|×||a||, т. к. ||la|| =
Ортонормированный базис евклидова векторного пространства
Определение 8.21. Базис евклидова векторного пространства называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, то есть если а1, а
Процесс ортогонализации
Теорема 8.12. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство. Пусть а1, а2
Скалярное произведение в ортонормированном базисе
Дан ортонормированный базис e1, e2, …, en евклидова пространства V. Поскольку (ei, ej) = 0 при i
Ортогональное дополнение подпространства
V – евклидово векторное пространство, L – его подпространство.
Определение 8.23. Говорят, что вектор а ортогонален подпространству L , если вектор
Связь между координатами вектора и координатами его образа
В пространстве V задан линейный оператор j, а также в некотором базисе e1, e2, …, en найдена его матрица M(j). Пусть в этом базис
Подобные матрицы
Рассмотрим множество Рn´n квадратных матриц порядка n с элементами из произвольного поля P.
Введем на этом множестве отно
Свойства отношения подобия матриц
1. Рефлексивность. Любая матрица подобна сама себе, т. е. А ~ А.
2. Симметричность. Если матрица A подобна B, то и B подобна A, т. е
Свойства собственных векторов
1. Каждый собственный вектор принадлежит только одному собственному значению.
Доказательство. Пусть x собственный вектор с двумя собственными значениями
Характеристический многочлен матрицы
Дана матрица A Î Рn´n (или A Î Rn´n).
Определени
Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице
Пусть A – квадратная матрица. Можно считать, что это матрица некоторого линейного оператора, заданного в каком-то базисе. Известно, что в другом базисе матрица линейного операт
Жорданова нормальная форма
Определение 10.5. Жордановой клеткой порядка k, относящейся к числу l0, называется матрица порядка k, 1 ≤ k ≤ n,
Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме
Теорема 10.3. Жорданова нормальная форма определяется для матрицы однозначно с точностью до порядка расположения жордановых клеток на главной диагонали.
Пр
Билинейные формы
Определение 11.1. Билинейной формой называется функция (отображение) f: V ´ V ® R (или C), где V – произвольное векторное п
Свойства билинейных форм
Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной кососимметричной форм.
При выбранном базисе e1, e2, …, en в векторн
Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы
Пусть в векторном пространстве V заданы два базиса e = {e1, e2, …, en} и f = {f1, f2,
Квадратичные формы
Пусть A(x, y) – симметрическая билинейная форма, заданная на векторном пространстве V.
Определение 11.6.Квадратичной формой
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Дана квадратичная форма (2) A(x, x) = , где x = (x1
Закон инерции квадратичных форм
Установлено, что число отличных от нуля канонических коэффициентов квадратичной формы равно ее рангу и не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма A(x
Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы
Утверждение 11.1. Для того чтобы квадратичная форма A(x, x), заданная в n-мерном векторном пространстве V, была знакоопределенной, необход
Необходимое и достаточное условие квазизнакопеременности квадратичной формы
Утверждение 11.3. Для того чтобы квадратичная форма A(x, x), заданная в n-мерном векторном пространстве V, была квазизнакопеременной (то е
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы
Пусть форма A(x, x) в базисе e = {e1, e2, …, en} определяется матрицей A(e) = (aij)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Линейная алгебра является обязательной частью любой программы по высшей математике. Любой другой раздел предполагает наличие знаний, умений и навыков, заложенных во время преподавания этой дисципли
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. – М.: Изд-во ВШЭ, 2007.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методическое пособие
Редактор и корректор Г. Д. Неганова
Компьютерный набор Т. Н. Матыциной, Е. К. Коржевина
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.027 сек.
Новости и инфо для студентов