Матрицы и определители

Основные теоретические сведения.Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Горизонтальные ряды элементов называются строками, а вертикальные – столбцами. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк – порядком этой матрицы. Каждой квадратной матрице соответствует число, называемое определителем.

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

Выражение вида называется определителем второго порядка и обозначается:

.

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

и вычисляемое по правилу Саррюса:

.

 

 

Произведения этих элементов Произведения этих элементов

берем со своими знаками берем с противоположными

знаками

Минором элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания ой строки и го столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическим дополнением элемента называется следующее число:

.

 

Простейшие свойства определителей:

1. При перемене местами строк и столбцов определителя с сохранением их номеров (т. е. при транспонировании) его значение не меняется.

2. Если все элементы какой-нибудь строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

3. При перестановке двух любых строк (или столбцов) определитель меняет знак.

4. Если две строки (или столбца) определителя одинаковы, то он равен нулю.

5. Если все элементы одной строки (или столбца) определителя умножить на одно и тоже число, то и весь определитель умножится на это число. Иными словами, общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

6. Если все элементы одной строки пропорциональны соответствующим элементам другой строки, то определитель равен нулю. То же верно и для столбцов.

7. Если к одной строке определителя прибавить одну или несколько строк, умноженных на любые числа, то значение определителя не изменится. То же верно и для столбцов.

8. Если хотя бы одна строка определителя линейно выражается через другие строки, то он равен нулю. То же верно и для столбцов.

9. Значение определителя равно сумме произведений элементов некоторой его строки на соответствующие алгебраические дополнения (разложение определителя по строке). То же верно и для столбцов (разложение определителя по столбцу).

 

Диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол, называется главной диагональю.

Квадратная матрица Е называется единичной, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю.

Матрица А^-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если

АА^-1=А^-1А=Е.

Если определитель квадратной матрицы А отличен от нуля, то она имеет единственную обратную матрицу.