Линейные пространства

Определение линейного пространства

Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:

1) любым двум элементам соответствует третий элемент называемый суммой элементов (внутренняя операция);

2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция).

Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

II.

III. (нулевой элемент, такой, что ).

IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что

VI.

VII.

VIII.
Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).

Подпространство линейного пространства

Множество называется подпространством линейного пространства V, если:

№23

Система векторов линейного пространства L образует базис в L если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из L линейно выражается через векторы системы.

Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов e₁, ..., e_n
образует базис в L если любой вектор x из L может быть представлен в виде

x = С₁·e₁+С₂·e₂+ ...+С_n· e_n.

Можно определить базис иначе.

Любая упорядоченная линейно независимая система e₁, ..., e_n векторов n-мерного линейного пространства L_n образует базис этого пространства.

Поскольку n, размерность пространства L_n— максимальное количество линейно независимых векторов пространства, то система векторов x,e₁, ..., e_n линейно зависима и, следовательно, вектор x линейно выражается через векторы e₁, ..., e_n:

x = x₁·e₁+ x₂·e₂+ ...+ x_n· e_n.

Такое разложение вектора по базису единственно.

Теорема 1. (О числе векторов в линейно независимых и порождающих системах векторов.) Число векторов в любой линейно независимой системе векторов не превосходит числа векторов в любой порождающей системе векторов этого же векторного пространства.

Доказательство. Пусть произвольная линейно независимая система векторов, - произвольная порождающая система. Допустим, что .

Мы можем считать, что все векторы порождающей системы ненулевые, т.к. нулевые векторы можно удалить из системы и оставшаяся система векторов, очевидно, остается порождающей.

Т.к. порождающая система, то она представляет любой вектор пространства, в том числе и вектор . Присоединим его к этой системе. Получаем линейно зависимую и порождающую систему векторов: . Тогда найдется вектор этой системы, который линейно выражается через предыдущие векторы этой системы и его, в силу леммы, можно удалить из системы, причем оставшаяся система векторов будет по-прежнему порождающей.

Перенумеруем оставшуюся систему векторов: . Т.к. эта система порождающая, то она представляет вектор и, присоединяя его к этой системе, опять получаем линейно зависимую и порождающую систему: .

Далее все повторяется. Найдется вектор в этой системе, который линейно выражается через предыдущие, причем это не может быть вектор , т.к. исходная система линейно независимая и вектор не выражается линейно через вектор . Значит, это может быть только один из векторов . Удаляя его из системы , получаем, после перенумерования, систему , которая будет порождающей системой. Продолжая этот процесс, через шагов получим порождающую систему векторов: , где , т.к. по нашему предположению . Значит, эта система, как порождающая, представляет и вектор , что противоречит условию линейной независимости системы .

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. (О количестве векторов в базисе.) В любом базисе векторного пространства содержится одно и тоже число векторов.

Доказательство. Пусть и – два произвольных базиса векторного пространства. Любой базис является линейно независимой и порождающей системой векторов.

Т.к. первая система линейно независимая, а вторая – порождающая, то, по теореме 1, .

Аналогично, вторая система линейно независимая, а первая – порождающая, то . Отсюда следует, что , ч.т.д.

Теорема 2 доказана.

Данная теорема позволяет ввести следующее определение.

Определение. Размерностью векторного пространства V над полем K называется число векторов в его базисе.

Обозначение: или .

№24

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.