Icirc;112k+1+32n+1=2b , где b>a, a+b=x

Откуда 11^2k+1=2^a-1(2^b-a+1), что возможно только при a=1,т.к.

11^2k+1: 2^a-1,если a-1=0, тогда 11^2k+1=2^b-1+1 Þ 10d+1 = 2^b-1+1 Þ 2^b-1: 5, что невозможно.

Рассмотрим уравнение 11^z-3^y=2^x при y=4n+1; z=4k+3. 11^4k+3-3⁴ⁿ⁺¹=2^x Û 11³(11^4k-1)+11³ –3(3⁴ⁿ-1)-3=2^x Û 11³(11^4k-1) –3(3⁴ⁿ-1)+13 =2^x, зная, что 11^4k-1 и 3⁴ⁿ-1 делятся на 5, запишем

11³(11^4k-1)+11 –3(3⁴ⁿ-1)-3=2^x как 11³×5a-15b+8=2^x откуда 5с+3=2^x Þ 2^x при делении на 5 дает остаток 3. 2^x при делении на 5 дает остатки: 2; 4; 3; 1. Тогда x=4m+3, что не противоречит ни одному из пунктов.

Как мы видим, решение по x не дало результатов, рассмотрим решение по y.

6.) Пусть y=1, тогда имеем уравнение 2^x+3=11^z.

Тогда x=3, z=1- его решение.

При x=4;5—решений нет. Пусть x>5, тогда (11^z-3):64. Остатки от деления 11^z на 64: 11;57;51;49;27;41;3;33;43;25;19;17;59;9;35;1. Откуда z=16k+7, имеем 11^16k+7-3=11⁷(11^16k-1)+11⁷-3 Заметим, что

(11¹⁶-1):17 (Малая теорема Ферма) и (11^16k-1):17.

11^16k+7-3=17a+17×1146304+3–3=17d. Получаем 2^x=17d, что невозможно. (3;1;1)- решение 2^x+3^y=11^z.

7.) Пусть y=2, тогда имеем уравнение 9+2^x=11^z . Видим, что x=1 z=1- его решение.Пусть x>1, тогда 11^z-9 делится на 4 Þ 11^x при делении на 4 дает остаток 1. 11^z при делении на 4 дает остатки 3; 1. т.е. z=2k. Отсюда 11^2k-9=2^x Û

ì11^k-3=2^a

î11^k+3=2^b, где b>a a,bÎN. Тогда 11^k=2^a-1(2^b-a+1), что возможно только при a=1. Значит, 11^k=2^b-1+1Þ 10d+1=2^b-1+1. откуда 2^b-1 :5, что невозможно. (1;2;1)-решение уравнения 2^x+3^y=11^z.

8.) Пусть y>2. Возможны случаи: 3⁴ⁿ⁺²+2^4m+1=11^z ; 3⁴ⁿ⁺¹+2^4m+3=11^z.

3⁴ⁿ⁺²+2^4m+1=11^z , x>1, тогда 11^z-3⁴ⁿ⁺²=2^4m+1 делится на 4, т.е. 11^z и 3^y дают одинаковые остатки при делении на 4. 11^z при делении на 4 дает остатки: 3; 1. 3^2(2n+1) при делении на 4 дает остаток 1. Тогда z=2k. Получили 11^2k-3⁴ⁿ⁺²=2^x Û ì11^k-3²ⁿ⁺¹=2^a

î11^k+3²ⁿ⁺¹=2^b, где b>a, a+b=x, тогда 11^z=2^a-1(2^b-a+1), что возможно только при a=1, тогда

10d+1=2^b-1+1, 2^b-1=10d, откуда 2^b-1:5, что невозможно.

3⁴ⁿ⁺¹+2^4m+3=11^z. y>1, тогда 3⁴ⁿ⁺¹=11^z -2^4m+3 делится на 9, т.е.

11^z и 2^4m+3 дают одинаковые остатки.