Icirc;5n+3m=8 . î2×3m=6 î3m=3

n=m=1. Значит, (4;2;2)- решение уравнения 2^x+3^y=5^z.

5) Предположим, x³5 , тогда 2^x+3^y=5^z . 5^z -3^y=2^x . (5^z -3^y)делится на 32, т.е. числа 3^y и 5^z дают один и тот же остаток при делении на 32 .

Рассмотрим остатки от деления на 32 5^z и 3^y.

5^z при делении на 32 дает остатки: 5; 25; 29; 17; 21; 9; 13; 1, а

3^y при делении на 32 дает остатки: 3; 9; 27; 17; 19; 25; 11; 1. Итак, возможны пары (z;y):

(8k+2; 8l+6); (8k+4; 8l+4); (8k; 8l).

Во всех случаях числа z,y четные, т.е. z=2a, y=2b a,bÎN, тогда

5^2a-3^2b=2^x Û (5^a-3^b)(5^a+3^b)=2^x Û ì5^a-3^b=2^c

î5^a+3^b=2^d ,

где d>c>0; d,c,ÎN, c+d=x.

Имеем 2^d-2^c=2×3^b Û 2^c-1(2^d-c-1)=3^b. Значит, 3:2^c-1, тогда c=1, следовательно, 3^b=2^d-1-1, тогда b=1, d=3, c=1(см. Приложение), что противоречит предположению (x>4 x=d+c=3+1=4).

Ответ: (1;1;1), (4;2;2)

^5. Решение уравнения 2^x+3^y=7^z

1) Пусть x=1, тогда имеем уравнение 2+3^y=7^z.

Тогда 2+3^y=(6+1)^z Û 2+3^y=6a+1 Û 3^y-1-2a+¹/₃=0, где aÎN, что невозможно. Значит, уравнение 2+3^y=7^zрешений не имеет.

2) Пусть x=2, тогда имеем уравнение 4+3^y=7^z.

y=1, z=1 решение. Предположим, y³2, тогда 7^z-4=3^y, т.е.