Определение

Пусть — векторное пространство над полем характеристики .

В этом случае более общее понятие квадратичной формы на модуле удобно переформулировать следующим образом.

Определение 1. Квадратичной формой¹⁾ на векторном пространстве называется отображение , определяемое некоторой симметричной билинейной формой на :

для всех .

Билинейная форма при этом называется полярной²⁾ к квадратичной форме .

Замечание. Очевидно, что это определение является частным случаем понятия квадратичной формы на модуле из статьиКвадратичная форма. Но верно и обратное, если — квадратичная форма в «более общем» смысле, то полагая , мы убеждаемся, что . Таким образом, для векторных пространств над полем, характеристика которого отлична от 2, эти определения эквивалентны. Кроме того, существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами на и симметричными билинейными формами на .