Матрица квадратичной формы

Определение 2. Пусть — квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве . Матрицей квадратичной формы³⁾ относительно базиса пространства называется матрица билинейной формы , где — полярная к билинейная форма, то есть

, где .

Если в базисе вектор имеет разложение , то

.

Определение 3. Рангом квадратичной формы⁴⁾ называется ранг матрицы в некотором базисе.

Предложение 1. Ранг квадратичной формы не зависит от выбора базиса в пространстве .

Определение 4. Говорят, что квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве имеет в базисе канонический вид⁵⁾, если матрица квадратичной формы в этом базисе диагональна, то есть для каждого вектора .

Предложение 2. Пусть — квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве над полем . Тогда в существует базис , в котором имеет канонический вид

.