Определение

Определение 1. Линейное пространство над полем или называетсянормированным¹⁾, если выполнены следующие два требования:

1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой²⁾ указанного элемента и обозначаемого символом .

2. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:

I. , причем тогда и только тогда, когда .

II. для любых и .

III. Для любых двух элементов и справедливо неравенство треугольника .

Предложение 1. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента определить равенством .

Пример 1. Рассмотрим векторное пространство . Число является нормой элемента в .