Определение 5. Ядром9) линейного отображения называется множество .
Определение 6. Образом10) линейного отображения называется множество .
Замечание 2. Как следует из определений, , , то есть ядро и образ являются подмножествами векторных пространств.
Предложение 2. Ядро и образ линейного отображения являются подпространствами векторных пространств и , соответственно.
Предложение 3. Пусть — конечномерное векторное пространство, и — линейное отображение. Тогда и конечномерны и .
Предложение 4. Пусть — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда .
Следствие 1. Пусть — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение сюръективно тогда и только тогда, когда .
Предложение 5. Множество всех линейных отображений из векторного пространства в векторное пространство является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных правилами:
1. для двух линейных отображений и пространства в пространство их сумма определена формулой: для всех ;
2. для линейного отображения умножение на скаляр определено формулой: для всех .
Замечание 3. Векторное пространство линейных отображений из в обозначается через .