Пусть — квадратная матрица порядка с коэффициентами из кольца ,.
Определение 1. Определителем1) матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Иначе говоря,
,
где суммирование ведется по всем подстановкам порядка , — знак подстановки .
Замечание. Часто определитель матрицы определяют рекурсивно, используя разложение по первой строке (частный случайтеоремы Лапласа).
Пример 1. Определитель матрицы порядка 2: равен .
Пример 2. Определитель матрицы порядка 3 вычисляется по формуле
.
При вычислении определителей третьего порядка полезно помнить так называемое «правило треугольника»: произведение элементов, соединенных линиями, на первой диаграмме берется со знаком «+»произведение элементов, соединенных линиями, на второй диаграмме берется со знаком «-»