Пересечение и сумма

Пусть и — подпространствавекторного пространства над полем .

Предложение 1. Пересечение подпространств и является векторным пространством.

Замечание 1. Объединение пространств и не обязано быть векторным пространством, как показано в следующем примере.

Пример 1. Пусть , то есть множество векторов вида , где . Базисом этого пространства служат вектора и . Положим и — линейные оболочки векторов и , соответственно. Сумма векторов не содержится в .

Определение 1. Суммой¹⁾ подпространств и называется наименьшее подпространство в , содержащее и , то есть

.

Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств:

Определение 1'. Сумма подпространств в — это наименьшее подпространство, содержащее все , то есть

.

Предложение 2. Пусть и — подпространства конечномерного векторного пространства . Тогда

.